相抵 相似 合同
相抵：A=PBQ,经过一系列初等行（列）变换，不改变秩
合同：A=QBQT,(一般？)对于实对称矩阵而言，不改变惯性指数，和二次型相联系
相似：A=PBP-1,可逆矩阵与对角阵相似，主对角元素为A特征值，相似标准型
实对称矩阵对角化的P是正交矩阵
可对角化：矩阵有n个线性无关的特征向量（几何重数等于代数重数）
辨：可对角化不等于可逆，有零特征值时不可逆
n阶矩阵n个特征值，是否重根，是否为零
若当标准型
存在重根时不与对角阵相似，但与若当标准型相似
若当标准型主对角元素为特征值，重复的特征值形成若当块（依据初等因子）
求法：确定不变因子（初等因子组）
行列式因子 不变因子 初等因子 初等因子组
k阶行列式因子：k阶子式的最高公因式且首项系数为1者
不变因子确定方法
- 化为Smith标准型，初等变换法，定义式
- 计算行列式因子，k阶不变因子为k阶行列式因子除以k-1阶行列式因子
- 转化为分块对角阵，计算初等因子组，对其排序制表得到不变因子
初等因子：不变因子的因子，不同不变因子的初等因子可以相同
最小多项式等于最高阶的不变因子
酉相似
酉相似：A=UBUH
舒尔引理：任意方阵与上三角阵酉相似 ，主对角元素为特征值
正规矩阵：AHA=AAH，可酉相似对角化分解（充要）
舒尔不等式：特征值模的平方和小于等于矩阵F范数的平方，当矩阵为正规矩阵时取等号
- F范数：所有元素模的平方和，tr(AAH)
- Hermite矩阵特征值均为实数
- 矩阵与逆矩阵的特征值互为倒数，特征向量相同
UR分解
UR分解：满秩方阵可分解为酉矩阵和正线上三角阵的积
实数域上为QR分解
Cholesky分解：A=RTR，A实对称正定矩阵，R正线上三角阵
长方阵分解：A,m*n,秩为r，则A=Udiag(R,O)VH
U：m阶酉矩阵，V：n阶酉矩阵，R：r阶正线上三角阵
奇异值分解
长方阵分解的简化版，用途更广
A=Udiag(S,O)VH，S为对角阵，主对角元素为A的奇异值
奇异值的平方为AHA的特征值
- AHA,AAH 半正定的Hermite矩阵
特征值：正数 or 0 - AHA,AAH秩相等，且等于A的秩
等于奇异值个数，等于AAH非零特征值个数 - U各列左奇异向量（AAH） V各列右奇异向量（AHA）
- 矩阵二范数等于AHA谱半径等于A最大奇异值
- 谱半径：矩阵特征值的绝对值的最大值
满秩分解
A=BC B列满秩 C行满秩 A,B,C秩相等
- 自反广义逆（A12） C的右逆×B的左逆
- 伪逆(A+,A1234) C特殊的右逆×B特殊的左逆
- 求A非零特征值，可通过求CB非零特征值得到
方阵才有特征值，零特征值重数为n-r
谱分解
可把一个可对角化的矩阵A分解为一系列幂等矩阵Pi的加权和，权为特征值
投影算子：线性变换T的值空间为L,零空间为M，在L上为恒等变换，则P（L,M）=T
幂等算子等价于投影算子
幂等矩阵
特征值非零即一，可对角化，秩等于迹
正交投影算子：零空间与值空间正交，等价于幂等矩阵式Hermite矩阵
可对角化矩阵可谱分解，正规矩阵可正交谱分解
Pi=φi（A）/φi（λ） 类似拉格朗日插值公式
- 矩阵函数中 A可对角化时，利用谱分解可计算特殊函数
- 简化多项式函数计算
- 计算伪逆A+，对AHA谱分解（AHA,Hermite,正规矩阵，酉相似对角分解）
- 最小多项式考虑特征值等于0的项，φ函数不考虑
线性变换的矩阵表示：
线性变换描述两个空间的映射关系，这个关系可用矩阵表示
和两个空间的基底选取有关，矩阵表示之间相抵或相似
可对角化的判定和矩阵类似，多了一种关于最小多项式的等价判定，即：
最小多项式可分解为不同一次因式的积
可对角化的最简矩阵表示就是相似标准型，其基底就是特征向量
不可对角化的最简矩阵表示是若当标准型，基底仍然是特征向量，但个数变少
