符号逻辑 | 《逻辑学导论》（五）

补一年前的坑~~><

亚里士多德的逻辑是古典逻辑。此外还有现代逻辑即符号逻辑。以三段论为核心的古典逻辑看重 category、class。而符号逻辑不关心这个，只关心两个陈述之间的关系，并用逻辑连结词（符号）表现。

符号

图片发自简书App

以上4个是符号逻辑的核心符号。另外注意两个，一是图中提及的否定符号，它只是一个运算符，不是核心的体现逻辑关系的符号。另一个是逻辑等价的符号，它所表达的，超越逻辑关系（表达真值），还代表两个陈述 meaning 上的含义，下面会再详述。

4个符号中最重要的是表示蕴含关系的马蹄号。

实质蕴含（Material Implication）

这个符号打不出来，先用大括号代替。
p } q （英文是 p implies q )

蕴含的逻辑含义

imply /蕴含/如果…那么… 在逻辑上的意义要区别于日常语言中的意义。

日常语言中有4类含义。

如果所有人都有死且苏格拉底是人，那么苏格拉底有死。
如果莱士里是单身汉，那么莱士里是未婚的。
如果把这张蓝色石蕊试纸放在酸液中，那么这张蓝色的石蕊试纸会变红。
如果斯塔德输掉了这场比赛，那么我就吞下我的帽子。

第1条里，后件由前件“逻辑地”推出；2中，后件由前件中术语“单身汉”的定义而来；3中，后件和前件是因果关系；4表示的是说话者在特定情形下以特定方式行事的决策。自然语言中的 imply 考虑 p,q 的 meaning，若 p q 完全不相关，就不存在 imply 与否的问题。

而逻辑上的蕴含，不考虑 meaning，它单纯地定义了p、q的关系。对于 p } q，仅表示如果 p 为真，q 必为真。它不 care p和q有什么逻辑、因果、定义、决策的联系。因此，它被称作“实质蕴含”，以区别于普通的蕴含。

蕴含的表达式

p } q 也可写作 ~ ( p · ~q )

它很好地表达了如果 p 为真，q 必为真。看到这里我在想为什么 p } q 不能用 p · q （合取）表达？

“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 为真，q 必为真。如果 p 为假，q 可真可假。如果q为假，p必为假。如果q为真，p可真可假。
这些含义 p · q 都无法表达。

Again, p } q 并不关注p、q 的 meaning, 也不关注真假，只是定义p、q关系。

再看一个例子理解一下：

符号逻辑1.png

这个定义后两句，把 3，4 看成是其他东西，是个馒头。则如果定义馒头<2 那么馒头<4。所以当你定义了4<2 那么必然也成立4<4。虽然两个都是假的。

实质蕴含怪论

根据:
“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 为真，q 必为真。如果 p 为假，q 可真可假。如果q为假，p必为假。如果q为真，p可真可假。

可以得出:
假陈述蕴含一切陈述。真陈述被一切陈述蕴含。

逻辑表达式为~p } ( p } q ) 和 p } (q } p)
后续文章证明。

再谈一下充分必要条件的概念。
“如果 p 那么 q”表示的是如果 p 为真，q 必为真。如果q为假，p必为假。P 因此，若 p 成立，q 一定成立；q 成立当且仅当 p。因此可以认为，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

实质等值（Material Equivalence）

指的是两个陈述真值相等。

逻辑等价（Logical Equivalence）

指两个陈述不仅真值相等，meaning 也一样，在任何场景可以互相替换。
例如 p 和 ~~p （双重否定）就是逻辑等价的

德·摩根定理（De Morgan’s Theorems）

~（p v q）= ~ p · ~ q
~（p · q）= ~ p v ~ q
（中间的符号要换成逻辑等价的符号）

两个陈述析取的否定逻辑等价于两个陈述的否定的合取
两个陈述的合取的否定逻辑等价于两个陈述的否定的析取

该定理由数学家兼逻辑学家奥古斯塔·德·摩根（Augustus De Morgan）（1806-1871）提出。

怎么推论的？p v q 若为真，则表示至少一个是真的，因此它的反面是两个都是假的，因此是 p 的否定和 q 的否定的合取。同样，p · q 若为真，则表示p,q 同真。因此它的反面是p,q至少有一个是假的，因此是 p 的否定和 q 的否定的析取。
另外这个定理也可以通过真值表论证。

再看实质蕴含
p } q 也可写作 ~ ( p · ~q )，而根据 ~（p · q）= ~ p v ~ q，可得出：

符号逻辑2.png

可见 p implies q 表示的是 either q is true or p is false。Again, 实质蕴含只规定了 p, q的关系，不关心他们的 meaning.

论证

论证及论证有效性现在看起来已经习以为常，但还是有必要对它的基本含义做一个梳理。

基本概念

变元（variable）

一个可以被陈述代入的字母。英文其实是变量。

论证形式（argument form）

任何一列包含陈述变元而不包含陈述的符号序列，当用陈述代入陈述变元时——同一陈述始终代入同一陈述变元——其结果就是一个论证。

特征形式（specific form）

只要一个论证是通过一致地以不同的简单陈述代入一个论证形式中每个不同的陈述变元而产生的，该论证形式就是这个论证的特征形式。

意思是陈述和变元越是一一对应，越是特征形式。
具体可看13版本中文版 P365-366

有效性

一个论证有效，当且仅当，该论证的特征形式，是一个有效论证形式。

陈述形式

要区分事实／历史的真 vs 逻辑的真

重言式（Tautology）
一个只有真代入例的陈述形式叫重言的陈述形式，或重言式。
例如 p V ~ p
矛盾式（Contradiction）
一个只有假代入例的陈述形式叫矛盾的陈述形式，或矛盾式。
偶真的（Contingent）
既有真代入例又有假代入例的陈述形式叫偶真陈述形式。

那么逻辑等价的概念，可以表达为：若两个陈述的实质等值陈述是一个重言式，则两个陈述逻辑等价。

论证的表达式

之所以说蕴含是最重要的符号。是因为任何一个论证起始可以看作一个条件陈述。即其前件式是该论证形式的前提的合取，其后件是该论证形式的结论。

那么，一个论证形式有效，当且仅当，其条件陈述表达式是一个重言式。

三大思想法则（The Three “Laws of Thought”）

同一原理（The principle of identity）：如果一个陈述是真的，那么它就是真的。
不矛盾原理（The principle of noncontradiction.）：没有陈述是既真又假的。
排中原理（The principle of excluded middle）：每个陈述或者是真的或者是假的。

这三大原理确实是真的，逻辑地为真的。但说他们具有最基本的思想法则这一特权地位，是值得怀疑的。在逻辑学中也有很多必为真的法则，有人认为更重要。

有人质疑同一原理：例如原来，美国有13个州是真的，但现在有50个州。
前一个的表述是省略的，完整形式应该是：1970年的美国有13个州。

同一原理为真，并不妨碍我们对连续性的认识。

排中原理被质疑，反对者认为它意味着事物非黑即白。但实际上，对于一个东西的陈述“这是黑的”，若它为假，并不是“这是白的”，而是：这是非黑的。“这是黑的”和“这是白的”可以同时为假。这也是《改变》里的重要思路。