基础量子物理科普（5）还是薛定谔方程

位置

在势场中，力可以被定义为势能函数的导数
即 $F =- \partial V/\partial x$
因此通过牛顿第二定律 $m d^2x/dt^2=-\partial V/\partial x$ 求出x(t)
在量子力学中我们要求波函数 $\Psi(x,t)$ 需要求解薛定谔方程
$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi$
给定适当的初始条件，即可求得以后所有时刻的波函数
$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2dx$
左侧为全导数，右侧为偏导数
有
$\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2=\frac{\partial}{\partial t}\Psi^*\Psi=\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial t}+\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi$
薛定谔方程可以写作
$\frac{\partial \Psi}{\partial t}= \frac{i \hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi$
及其共轭形式
$\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=- \frac{i \hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*$
所以可以解得
$\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2 }\Psi)=\frac{\partial}{\partial x}[\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial Psi}{\partial x}-\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi)]$
把这个再带入到
$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2dx$ 中
可以得到
$\frac{d}{dt } \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} -\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}$
这个积分的导数应该为0
可以理解为x趋于无穷的时候 $\Psi(x,t)$ 必须区域0，否则不可归一化
$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=0$
可以认为积分后的概率和应该是常数

动量

位置的平均值可以表示为
$\bar{x } =\int x|\Psi|^2dx$
那么平均位置对时间求导有
$\frac{d\bar{ x }}{dt }=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2dx=\frac{i\hbar}{2m}\int x \frac{\partial}{\partial x}(\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi)dx$
进行分部积分
$\frac{d \bar{x}}{dt}=-\frac{i\hbar}{2m}\int(\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi)dx$
对第二项继续分部积分，有
$\frac{d \bar{ x} } { dt }=-\frac{i\hbar}{m}\int \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} dx$
emmm我们来把这个不同于一般意义的速度定义为 $<V>$
那么我们也可以计算动量
$<p>=-{i\hbar}\int \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} dx$
用 $<x>$ 表示平均位置
$<x> = \int \Psi^*\ \ (x)\ \ \Psi dx$
$<p> = \int \Psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x})\Psi dx$
因此其他的任何量Q我们也可以表示为
$Q = \int \Psi^* Q(x,\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}) \Psi dx$

定态薛定谔方程

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi$
先来算V不依赖时间的情况，这种情况下薛定谔方程可以用分离变量法来求解
$\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$
对分离变量有
$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\psi \frac{d\phi}{dt},\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\phi \frac{d\psi}{dx }$
$\frac{\partial \Psi}{\partial t^2}=\psi \frac{d^2\phi}{dt^2},\frac{\partial \Psi}{\partial x^2}=\phi \frac{d^2\psi}{dx^2 }$
薛定谔方程即为
$i\hbar\ \psi \frac{d\phi}{dt}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi }{\partial x^2}\phi+V\psi\phi$
两边同时除以 $\psi\phi$
可得
$i\hbar\ \frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dt}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi }{\partial x^2}\frac{1}{\psi}+V$

此时，左侧仅是t的函数，右侧仅是x的函数，因此唯有两边都为常数时候方程才能成立。将这个常数记为E
有
$i\hbar \frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dt}=E$
$-\frac{\hbar}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V =E$
就获得了两个简单形式的微分方程。
$\phi(t)=Ce^{-iEt/\hbar}$
因为我们实际的约束是 $\psi\phi$ 因此两个函数的系数C可以合成一个，我们取 $\phi$ 的系数C为1
有 $\phi(t)=e^{-iEt/\hbar}$
另一个方程被称作定态薛定谔方程
$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi =E\psi$
其解需要根据V来确定。
通过前面的Q我们可以计算出
Hamilton量 $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V$
因此定态薛定谔方程也可以写为
$\hat{H}\psi = E\phi$
其期望
$<H>=\int \psi^*\hat{H}\psi dx = E$

基础量子物理科普（5）还是薛定谔方程

位置

动量

定态薛定谔方程

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