1.有界函数、无界函数和复合函数

有界函数

设 $y=f(x)$ $x\in D$ $\exists常数 N \leq M$ 对 $\forall x\in D$ ，都有 $N \leq f(x) \leq M$ ,称 $f(x)$ 是 $D$ 上的有界函数， $N$ 称为 $f(x)$ 的一个下界， $M$ 称为 $f(x)$ 的一个上界

几何意义

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在直角坐标系中

$y=f(x)$ 有上界 $M$ 表示，函数的曲线在直线 $y=M$ 的下方
$y=f(x)$ 有下界 $N$ 表示，函数的曲线在直线 $y=N$ 的上方
$y=f(x)$ 有界，表示函数的曲线在 $y=M$ 和 $y=N$ 之间

$\exists常数 M$ ,对 $\forall x \in D$ 都有 $\left| f(x) \right| \leq M \iff -M \leq f(x) \leq M$ ，称 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有界

例1. 证明 $f(x) = {\sin^{80}x}-{6\cos^{60}2x}$ 有界

证：定义域为 $R$ , $\forall x\in R$
$\left| f(x) \right| = \left| {\sin^{80}x}-{6\cos^{60}2x} \right|$
$\leq \left| {\sin^{80}x} \right| +6\left| {\cos^{60}2x} \right|$
$\leq 1 + 6 = 7$
所以 $f(x)$ 有界

例2. 证明 $f(x) = {\frac{x}{1+x^2}}\sin x$ 有界
证：定义域为 $R$ ,
$(a-b)^2 \ge 0$
$\Rightarrow a^2 + b^2 \ge 2ab$
$\Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{2} \ge ab$
$若a>0,b>0,则 \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a+b}$
$\forall x \in R , \left| f(x) \right| = \frac{\left| x \right|}{1+\left| x^2 \right|} {\left| \sin x \right|}$
$\Rightarrow 1+\left| x^2 \right| \ge 2\left| x \right|$
$\Rightarrow \left| f(x) \right| \le \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}$
则 $f(x)$ 在 $R$ 上是有界函数

无界函数

$\forall M > 0,\exists x\in D ,但 |f(x)| > M$ 称 $f(x)$ 是 $D$ 上的无界函数

例3. 证明 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} 在(0,1]$ 上是无界函数

分析法：要证明 $B$ 成立，只要证明 $A$ 成立，指的是 $A\Rightarrow B$ ，即 $A$ 成立是 $B$ 成立的充分条件

证： $\forall M >0,若|f(x) | > M 成立$
$\Leftrightarrow |\frac{1}{\sqrt{x}}| > M$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} > M$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x} > M^2$
$\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2} 且 0<x \le 1$
$取x=\frac{1}{(M+1)^2} \in(0,1],0<x<\frac{1}{M^2}$
有 $f(x) >M$ 可知， $f(x)在(0,1]上是无界的$