高考理数解析几何大题：重庆四川陕西卷2011年到2016年

2011年理数重庆卷题20

分值：本题满分12分. （Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分.

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，一条准线的方程为 $x=2\sqrt{2}$ .

（I）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点 $P$ 满足： $\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OM} + 2 \overrightarrow{ON}$ ，其中 $M、N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ .

问∶是否存在两个定点 $F_1,F_2$ ，使得 $|PF_1 + PF_2|$ 为定值? 若存在，求 $F_1,F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由.

2011年理数重庆卷题20

2011年理数四川卷题21

分值：12分

椭圆有两顶点 $A(-1,0)、B(1,0)$ ，过其焦点 $F(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C、D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$ . 直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$ .

（I）当 $|CD|=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当点 $P$ 异于 $A、B$ 两点时，求证： $\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.

2011年理数四川卷题21

2011年理数陕西卷题17

分值：12分

如图，设 $P$ 是圆 $x^2+y^2=25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $PD$ 上一点，且 $|MD|=\dfrac{4}{5} |PD|$ .

（I）当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\dfrac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

2011年理数陕西卷题17

2012年理数重庆卷题20

分值：12分.（I）小问5分，（Ⅱ）小问7分.

如图，设椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，线段 $OF_1,OF_2$ 的中点分别为 $B_1,B_2$ ，且 $\triangle AB_1B_2$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

（I）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 $B_1$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P,Q$ 两点，使 $PB_2 \perp QB_2$ ，求直线 $l$ 的方程.

2012年理数重庆卷题20

2013年理数重庆卷题21

分值：12分.（I）小问4分，（Ⅱ）小问8分.

如图，椭圆的中心为原点 $O$ , 长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点， $|AA'|=4$ .

（I）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$ ，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外.若 $PQ \perp P'Q$ , 求圆 $Q$ 的标准方程.

2013年理数重庆卷题21

2012年理数四川卷题21

分值：12分

如图，动点 $M$ 与两定点 $A(-1,0, B(2,0))$ 构成 $\triangle MAB$ ，且 $\angle MBA =2\angle MAB$ . 设动点M的轨迹为 $C$ .

（I）求轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $y=-2x+m$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q、R$ ，且 $|PQ| \lt |PR|$ ，求 $\dfrac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围.

2012年理数四川卷题21

2012年理数陕西卷题19

分值：12分

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ , 椭圆 $C_2$ 以 $C_1$ 的长轴为短轴，且与 $C_1$ 有相同的离心率.

（I）求椭圆 $C_2$ 的方程；

（Ⅱ）设 $O$ 为坐标原点，点 $A,B$ 分别在椭圆 $C_1$ 和 $C_2$ 上， $\overrightarrow{OB} = 2 \overrightarrow{OA}$ ，求直线 $AB$ 的方程.

2013年理数陕西卷题20

分值：13分

已知动圆过定点 $A(4,0)$ , 且在 $y$ 轴截得弦 $MN$ 的长为 $8$ .

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）已知点 $B(-1,0)$ ,设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P,Q$ , 若 $x$ 轴是 $\angle PBQ$ 的角平分线, 证明直线 $l$ 过定点.

2014年理数重庆卷题21

分值：12分. （I）小问5 分,（Ⅱ）小问7分.

如图, 设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 点 $D$ 在椭圆上, $DF_1 \perp F_1F_2, \dfrac{DF_1}{F_1F_2}= 2 \sqrt{2}$ , $\triangle DF_1F_2$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

（I）求圆的标准方程:
（Ⅱ）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点, 求圆的半径.

2014年理数重庆卷题21

2014年理数四川卷题20

分值：13分
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的焦距为 $4$ , 其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（I）求椭圆 $C$ 的标准方程:
（Ⅱ）设 $F$ 为圆 $C$ 的左焦点, $T$ 为直线 $x=-3$ 上任意一点, 过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交圆 $C$ 于点 $P,Q$

（i）证明： $OT$ 平分线段 $PO$ (其中 $O$ 为坐标原点);
（ii）当 $PQ$ 最小时, 求点 $T$ 的坐标.

2014年理数陕西卷题20

分值：13分
如图, 曲线C由上半椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0, y \geqslant 0)$ 和部分抛物线 $C_2:y = -x^2+1 \;(y \leqslant 0)$ 连接而成, $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点为 $A,B$ , 其中 $C_1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

（I）求 $a,b$ 的值;

（Ⅱ）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 分别交于点 $P,Q$ (均异于点 $A,B$ ), 若 $AP \perp AQ$ , 求直线 $l$ 的方程.

2014年理数陕西卷题20

2015年理数重庆卷题21

分值：12分. (1)小问5 分,(2)小问7 分

如图, 椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $P,Q$ 两点, 且 $PQ \perp PF_1$ .

（I）若 $|PF_1|=2+\sqrt{2},\;|PF_2|=2-\sqrt{2}$ , 求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）若 $|PF_1|=|PQ|$ , 求椭圆的离心率 $e$ .

2015年理数重庆卷题21

2015年理数四川卷题20

分值：13分

如图, 椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率是 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 过点 $P(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $A,B$ 两点, 当直线 $l$ 平行于 $x$ 轴时, 直线 $l$ 被圆 $E$ 截得的线段长为 $2\sqrt{2}$

（I）求椭圆 $E$ 的方程:
（Ⅱ）在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$ , 使得 $\dfrac{|QA|}{|QB|}=\dfrac{|PA|}{|PB|}$ 恒成立? 若存在, 求出点 $Q$ 的坐标；若不存在, 请说明理由.

2015年理数四川卷题20

2015年理数陕西卷题20

分值：12分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的半焦距为 $c$ , 原点 $O$ 到经过两点 $(c,0),(0,b)$ 的直线的距离为 $\dfrac{c}{2}$ .
（I）求椭圆 $E$ 的离心率；
（Ⅱ）如图 $AB$ 是圆 $M:(x+2)^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{2}$ 的一条直径, 若椭圆 $E$ 经过 $A,B$ 两点, 求椭圆 $E$ 的方程.

2015年理数陕西卷题20

2016年理数四川卷题20

分值：13分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$ .

（I）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；

（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l'$ 平行于 $OT$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A,B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ .

证明：存在常数 $\lambda$ ，使得 $|PT|^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$ ，并求 $\lambda$ 的值.

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