高考理数解析几何大题：浙江卷2011年~2022年

2011年理数浙江卷题21

分值：15分

已知抛物线 $C_1:x^2=y$ ，圆 $C_2:x^2+(y-4)^2=1$ 的圆心为点 $M$ .

（I）求点 $M$ 到抛物线 $C_1$ 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点 $P$ 是抛物线 $C_1$ 上一点（异于原点）. 过点 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，交抛物线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点. 若过 $M,P$ 两点的直线 $l$ 垂直于直线 $AB$ ，求直线 $l$ 的方程.

2011年理数浙江卷题21

2012年理数浙江卷题21

分值：15分

如图，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 \; (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ . 不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求 $\triangle ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.

2012年理数浙江卷题21

2013年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 点 $P(0,-1)$ 是椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的个顶点, $C_1$ 的长轴是圆 $C_2:x^2+y^2=4$ 的直径. $l_1,l_2$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线,其中 $l_1$ 交圆 $C_2$ 于 $A,B$ 两点, $l_2$ 交椭圆 $C_1$ 于另一点 $D$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C_1$ 的方程;
（Ⅱ）求 $\triangle ABD$ 面积取最大值时直线 $l_1$ 的方程.

2013年理数浙江卷题21

2014年理数浙江卷题21

分值：15分

如图,设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ , 动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$ , 且点 $P$ 在第一象限

（I）已知直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 用 $a,b,k$ 表示点 $P$ 的坐标；

（Ⅱ）若过原点 $O$ 的直线 $l_1$ 与 $l$ 垂直, 证明：点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离的最大值为 $a-b$ .

2014年理数浙江卷题21

2015年理数浙江卷题19

分值：15分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+ y^2 = 1$ 上两个不同的点 $A,B$ 关于直线 $y=mx + \dfrac{1}{2}$ 对称.

（I）求实数 $m$ 的取值范围；
（Ⅱ）求 $\triangle AOB$ 面积的最大值( $O$ 为坐标原点).

2015年理数浙江卷题19

2016年理数浙江卷题19

分值：15分

如图，设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2 =1(a\gt 1)$ .
（I）求直线 $y=kx+1$ 被椭圆截得的线段长（用 $a,k$ 表示）
（Ⅱ）若任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有 $3$ 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

2016年理数山东卷题21

2017年浙江卷题21

分值：15分

如图，已知抛物线 $x^2=y$ , 点 $A(1\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}),B(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$ , 抛物线上的点 $P(x,y)(-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2})$ . 过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

（I）求直线 $AP$ 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求 $|PA| \cdot |PQ|$ 的最大值.

2017年浙江卷题21

2018年理数浙江卷题21

分值：15分

如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C:y^2=4x$ 上存在不同的两点 $A,B$ 满足 $PA,PB$ 的中点均在 $C$ 上.

（I）设 $AB$ 中点为 $M$ ，证明： $PM$ 垂直于 $y$ 轴；

（Ⅱ）若 $P$ 是半椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4} =1 (x\lt 0)$ 上的动点，求 $\triangle PAB$ 面积的取值范围.

2018年理数浙江卷题21

2019年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^2=2px(p \gt 0)$ 的焦点过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点, 点 $C$ 在抛物线上, 使得 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上, 直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ , 且 $Q$ 在点 $F$ 的右侧. 记 $\triangle AFG, \triangle CFG$ 的面积分别为 $S_1,S_2$ .

（I）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

2019年理数浙江卷题21

2020年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2 = 1$ , 抛物线 $C:y^2=2px( p\gt 0)$ , 点 $A$ 是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点, 过点 $A$ 的直线 $l$ 交圆 $C_1$ 于点 $B$ , 交抛物线 $C_2$ 于点 $M$ ( $B,M$ 不同于 $A$ ).

（I）若 $p=\dfrac{1}{16}$ , 求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点, 求 $p$ 的最大值.

2020年理数浙江卷题21

2021年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 已知 $F$ 是抛物线 $y=2px(p\gt 0)$ 的焦点, $M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|MF|=2$ .
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点, 若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $MA,MB,AB,x$ 轴依次交于点 $P,Q,R,N$ , 且满足 $|RN|^2=|PN|\cdot|QN|$ , 求直线在 $x$ 轴截距的取值范围.

2021年理数浙江卷题21

2022年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{12}+y^2 = 1$ . 设 $A,B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点, 且点 $Q(0,\dfrac{1}{2})$ 在线段 $AB$ 上, 直线 $PA,PB$ 分别交直线 $y= -\dfrac{1}{2} x +3$ 于 $C,D$ 两点.
（I）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 $|CD|$ 的最小值

2022年理数浙江卷题21

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