高考数学真题：代表性的解析几何大题~分组排列

按专题分组的解析几何大题

第1组：方程和曲线

$\mathbb{1.1}$ 方程与曲线：2014年文数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C:x^2 + y^2 -8y =0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A，B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $M$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积.

参考答案：2014年文数全国卷一题20

$\mathbb{1.2}$ 方程与曲线：2013年文科数学全国卷二题20 $\heartsuit$

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{3}$ .
（I）求圆心 $P$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 $P$ 的方程.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

$\mathbb{1.3}$ 方程与曲线：2009年文数全国卷题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\dfrac{|OP|}{|OM|}=e$ （ $e$ 为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

参考答案：2009年文数全国卷题20

$\mathbb{1.4}$ 方程与曲线：2015年理数广东卷题20 $\heartsuit$

分值：14分

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A，B.$
（1）求圆 $C_1$ 的圆心坐标;
（2）求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L∶y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点? 若存在，求出 $k$ 的取值范围; 若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数广东卷题20

$\mathbb{1.5}$ 方程与曲线：2014年理数湖北卷题21 $\heartsuit$

分值：14分
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（I）求轨迹 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

参考答案：2014年理数湖北卷题21

第2组：解析几何的方法与工具

$\mathbb{2.1\,A}$ 方法与工具：2015年文数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2,\sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$ 证明：直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值.

参考答案：2015年文数全国卷二题20

$\mathbb{2.1\,B}$ 方法与工具：2015年理数全国卷二题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知椭圆 $C:9x^2 + y^2=m^2（m \gt 0）$ ，直线 $l$ 不过原点O 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$

（I）证明：直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值;
（Ⅱ）若 $l$ 过点 $(\dfrac{m}{3},m)$ ，延长线段 $OM$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $OAPB$ 能否为平行四边形? 若能，求此时 $l$ 的斜率; 若不能，说明理由.

$\mathbb{2.2}$ 方法与工具：2015年文数全国卷一题20

分值：12分

已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $(x-2)^2 + (y-3)^2=1$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）求 $k$ 的取值范围;
（Ⅱ）若 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$ ，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$ .

参考答案：2015年文数全国卷一题20

$\mathbb{2.3}$ 方法与工具：2014年理数广东卷题20 $\heartsuit$

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;
（2）若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

参考答案：2014年理数广东卷题20

$\mathbb{2.4}$ 抛物线和圆：2017年文科数学全国卷三题20 $\heartsuit$

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2+mx-2$ 与 $x$ 轴交于 $A，B$ 两点，点 $C$ 的坐标为 $(0,1)$ ，当 $m$ 变化时，解答下列问题∶

（1）能否出现 $AC \perp BC$ 的情况？说明理由；
（2）证明过 $A，B，C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值.

$\mathbb{2.5}$ 抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $m \in {R}$ ，直线 $l: mx-(m^2+1)y=4m$ 和圆 $C∶x^2+y^2-8x+4y+16=0.$

（I）求直线 $l$ 斜率的取值范围;

（Ⅱ）直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\dfrac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

参考答案：2008年文数海南卷题20

第3组：抛物线和圆

$\mathbb{3.1}$ 抛物线：2016年文科数学全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t(t \ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$ ， $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$ .

（I）求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$ ;
（Ⅱ）除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 是否有其他公共点？说明理由.

参考答案：2016年文数全国卷一题20

$\mathbb{3.2}$ 抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2-6x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上.

（I）求圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 交于 $A，B$ 两点，且 $OA \perp OB$ ，求 $a$ 的值.

参考答案：2011年文科数学全国卷题20

$\mathbb{3.3}$ 抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $A$ 为C上一点，已知以 $F$ 为圆心， $FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点.
（I）若 $\angle BFD=90°$ ， $\triangle ABD$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（Ⅱ）若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值.

参考答案：2012年文数全国卷题20（文理同题）

$\mathbb{3.4}$ 抛物线和圆：2017年理数全国卷三题20

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=2x,$ 过点 $(2,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A，B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;
（2）设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

参考答案：2017年理数全国卷三题20

$\mathbb{3.5}$ 抛物线的弦：2017年文数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

设 $A,B$ 为曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上两点， $A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$ .

（1）求直线 $AB$ 的斜率;
（2）设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点， $C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行，且 $AM \perp BM$ ，求直线 $AB$ 的方程.

参考答案：2017年文数全国卷一题20

$\mathbb{3.6}$ 抛物线与圆：2018年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k \gt 0 )$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $|AB| =8$ .

（1）求 $l$ 的方程;
（2）求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

参考答案：2018年数学全国卷二题20

$\mathbb{3.7}$ 抛物线的弦：2019年理数全国卷三题21

分值：12分

已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$ .

（1）证明：直线 $AB$ 过定点；
（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求四边形 $ADBE$ 的面积。

参考答案：2019年全国卷三题21

$\mathbb{3.8}$ 抛物线的弦：2019年理数全国卷一题19

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

（1）若 $|AF|+|BF|=4$ ，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ ，求 $|AB|.$

参考答案：2019年理数全国卷一题19

$\mathbb{3.9}$ 四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

分值：12分
已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $|QF|=\dfrac{5}{4} |PQ|$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l'$ 与 $C$ 相交于 $M,N$ 两点，且 $A,M,B,N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年数学大纲卷题21

第4组：椭圆

$\mathbb{4.1\,A}$ 椭圆：2010年文科数学全国卷题20

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $|AB|$ ;
（2）若直线 $l$ 的斜率为 $1$ ，求 $b$ 的值.

参考答案：2010年文数全国卷题20

$\mathbb{4.1\,B}$ 椭圆：2010年理数全国卷题20

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|，|AB|，|BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $E$ 的离心率;
（2）设点 $P(0,-1)$ 满足 $|PA|=|PB|,$ 求 $E$ 的方程.

参考答案：2010年理数全国卷题20

$\mathbb{4.2}$ 椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直. 直线 $MF_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N.$

（I）若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率;
（Ⅱ）若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $|MN|=5|F_1N|$ ，求 $a，b$ .

参考答案：2014年数学全国卷二题20

$\mathbb{4.3}$ 椭圆：2020年全国卷三题20

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1(0 \lt m \lt 5)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点.

（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|BP|=|BQ|, BP \perp BQ$ ，求 $\triangle APQ$ 的面积。

参考答案：2020年全国卷三题20

$\mathbb{4.4}$ 椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题） $\heartsuit$

分值：12分

已知圆 $M:(x+1)^2+y^2=1,$ 圆 $N:(x-1)^2+y^2=9,$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|AB|$ .

参考答案：2013年数学全国卷一题21

第5组：两角相等

$\mathbb{5.1}$ 两角相等：2018年文数全国卷一题20

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=2x$ ，点 $A(2,0), B(-2,0)$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M，N$ 两点.

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $BM$ 的方程;
（2）证明： $\angle ABM = \angle ABN.$

参考答案：2018年文数全国卷一题20

$\mathbb{5.2}$ 两角相等：2018年理数全国卷一题19

分值：12分

设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A，B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ .

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程;
（2）设 $O$ 为坐标原点，证明： $\angle OMA = \angle OMB$ .

参考答案：2018年理数全国卷一题19

$\mathbb{5.3}$ 两角相等：2015年理数全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 与直线 $l: y=kx+a（a \gt 0）$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程;
（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$ ? 说明理由.

参考答案：2015年理数全国卷一题20

$\mathbb{5.4}$ 两角相等：2015年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 和 $A(m,n)(m \ne 0)$ 都在椭圆 $C$ 上. 直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）;
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ .问∶ $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $\angle OQM= \angle ONQ$ ？若存在，求点 $Q$ 坐标;若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数北京卷题19

第6组：弦长和面积

$\mathbb{6.1}$ 弦长和面积：2014年理数全国卷一题20

分值：12分
已知点 $A (0，-2)$ ，椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $AF$ 的斜率为 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求 $E$ 的方程;
（Ⅱ）设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P，Q$ 两点.当 $\triangle OPQ$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年理数全国卷一题20

$\mathbb{6.2}$ 弦长和面积：2013年理数全国卷二题20

分值：12分
平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 右焦点的直线 $x+y-3=0$ 交 $M$ 于 $A，B$ 两点， $P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$

（I）求 $M$ 的方程;
（Ⅱ） $C，D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$ ，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

$\mathbb{6.3}$ 弦长和面积：2016年理数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E.$
（I）证明 $|EA|+|EB|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_1$ ，直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $M，N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P，Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围.

参考答案：几何方法解答问题I ：数形结合，几何开路

参考答案：直角坐标系中解答问题Ⅱ

参考答案：极坐标方法解答问题Ⅱ

$\mathbb{6.4}$ 弦长和面积：2019年全国卷二题21

分值：12分

已知点 $A(-2,0),B(2,0)$ , 动点 $M(x,y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ . 记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限， $PE \perp x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$ .

（i）证明： $\triangle PQG$ 是直角三角形；

（ii）求 $\triangle PQG$ 面积的最大值.

$\mathbb{6.5}$ 弦长和面积：2016年理数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{t} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k（k \gt 0）$ 的直线交 $E$ 于 $A，M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上， $MA \perp NA.$
（I）当 $t=4，|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积;
（Ⅱ）当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围.

$\mathbb{6.6}$ 弦长和面积：2016年数学全国卷三题20（文理同题）

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=2x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_1,l_2$ 分别交 $C$ 于 $A，B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P，Q$ 两点.

（I）若 $F$ 在线段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中点，证明 $AR // FQ;$
（Ⅱ）若 $\triangle PQF$ 的面积是 $\triangle ABF$ 的面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程.

第7组：定点与定值

$\mathbb{7.1}$ 定点与定值：2017年理数全国卷一题20

分值：12分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，四点 $P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

（1）求 $C$ 的方程;
（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点. 若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，证明： $l$ 过定点.

参考答案：2017年理数A题20

$\mathbb{7.2}$ 定点与定值：2020年全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 =1( a \gt 1 )$ 的左、右顶点， $G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}＝8$ . $P$ 为直线 $x＝6$ 上的动点， $PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$ ， $PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ .
(1)求 $E$ 的方程；
(2)证明：直线 $CD$ 过定点。

参考答案：2020年理数全国卷一题20

$\mathbb{7.3}$ 定点与定值：2020年新高考1卷题21

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 且过点 $A(2,1)$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $M,N$ 在 $C$ 上，且 $AM \perp AN$ , $AD \perp MN$ ， $D$ 为垂足. 证明：存在定点 $Q$ ，使得 $|DQ|$ 为定值.

第8组：圆锥曲线的第二定义

$\mathbb{8.1}$ 圆锥曲线的第二定义：2018年文数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明： $2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$ .

$\mathbb{8.2}$ 圆锥曲线的第二定义：2018年理数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明： $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差.

第9组：向量与曲线

$\mathbb{9.1}$ 向量与曲线：2011年理数全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$ ， $B$ 点在直线 $y=-3$ 上， $M$ 点满足 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

参考答案：2011年理数全国卷题20

$\mathbb{9.2}$ 向量与曲线：2017年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM}$ .

（1）求点 $P$ 的轨迹方程;
（2）设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$ . 证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ .

参考答案：2017年数学全国卷二题20

$\mathbb{9.3}$ 向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $x^2+y^2-12x+32=0$ 的圆心为 $Q$ ，过点 $P(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $Q$ 相交于不同的两点 $A,B.$

（I）求 $k$ 的取值范围;
（Ⅱ）是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{PQ}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年文数海南卷题19

$\mathbb{9.4}$ 向量与曲线：2007年理数海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，经过点 $(0,\sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .

（I）求 $k$ 的取值范围;
（II）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A,B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年理数海南卷题19

$\mathbb{9.5}$ 向量与曲线：2008年理数海南卷题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; $F_2$ 也是抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ .

（I）求 $C_1$ 的方程；
（Ⅱ）平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$ ，直线 $l// MN$ ，且与 $C_1$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

参考答案：2008年理数海南卷题20

第10组：2020年~2022年的最新考题

$\mathbb{10.1}$ 弦长和面积：2020年新高考2卷题21

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 过点 $M(2,3)$ , 点 $A$ 为其左顶点，且 $AM$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle AMN$ 的面积的最大值.

$\mathbb{10.2}$ 2020年全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合， $C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合. 过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A，B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C，D$ 两点，且 $|CD|= \dfrac{4}{3}|AB|$ .
（1）求 $C_1$ 的离心率；
（2）设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点，若 $|MF|=5$ ，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程.

$\mathbb{10.3}$ 2021年全国甲卷题20

分值：12分

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $OP \perp OQ$ . 已知点 $M(2,0)$ ，且 $\odot M$ 与 $l$ 相切.

（1）求 $C$ ， $\odot M$ 的方程；
（2）设 $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2,A_1A_3$ 均与 $\odot M$ 相切. 判断直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 的位置关系，并说明理由.

$\mathbb{10.4}$ 2021年全国乙卷题21

分值：12分

已知抛物线 $C:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$ .

（1）求 $p$ ；
（2）若点 $P$ 在 $M$ 上， $PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线， $A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值.

$\mathbb{10.5}$ 2021年新高考1卷题21

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1(-\sqrt{17},0),F_2( \sqrt{17},0)$ , 点 $M$ 满足 $|MF_1| - |MF_2| =2$ . 记 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）设点 $T$ 在直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且 $|TA| \cdot |TB|= |TP| \cdot |TQ|$ ，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和.

$\mathbb{10.6}$ 2021年全国新高考2卷题20

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ ，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$ ，且离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设 $M,N$ 是椭圆 $C$ 上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^2+y^2=b^2(x \gt 0)$ 相切，证明： $M,N,F$ 三点共线的充要条件是 $|MN|=\sqrt{3}$ .

$\mathbb{10.7}$ 2022年全国卷甲题20

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=2px (p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p,0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M,N$ 两点. 当直线 $MD$ 垂直于 $x$ 轴时， $|MF|=3$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）设直线 $MD,ND$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A,B$ ，记直线 $MN,AB$ 的倾斜角分别为 $\alpha,\beta$ . 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时，求直线 $AB$ 的方程.

$\mathbb{10.8}$ 2022年全国新高考卷1题21

分值：12分

已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1(a \gt 1)$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，直线 $AP,AQ$ 的斜率之和为 $0$ .

（1）求 $l$ 的斜率；
（2）若 $\tan \angle PQA=2\sqrt{2}$ ，求 $\triangle PAQ$ 的面积.

$\mathbb{10.9}$ 2022年全国新高考卷2题21

分值：12分

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$ ，渐近线方程为 $y=\pm\sqrt{3}x$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点，点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上，且 $x_1 \gt x_2 \gt 0, y_1 \gt 0$ . 过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $M$ . 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

① $M$ 在 $AB$ 上；② $PQ//AB$ ；③ $|MA|=|MB|$ .

注∶若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

$\mathbb{10.10}$ 2022年全国卷乙题20

分值：12分

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2),B(\dfrac{3}{2},-1)$ 两点.

（1）求 $E$ 的方程；
（2）设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M,N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow {MT} = \overrightarrow {TH}$ . 证明：直线 $HN$ 过定点.

最后编辑于：2023.03.02 11:58:00

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高考数学真题：代表性的解析几何大题~分组排列

按专题分组的解析几何大题

第1组：方程和曲线

方程与曲线：2014年文数全国卷一题20

方程与曲线：2013年文科数学全国卷二题20

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

方程与曲线：2014年理数湖北卷题21

第2组：解析几何的方法与工具

方法与工具：2015年文数全国卷二题20

方法与工具：2015年理数全国卷二题20

方法与工具：2015年文数全国卷一题20

方法与工具：2014年理数广东卷题20

抛物线和圆：2017年文科数学全国卷三题20

抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20

第3组：抛物线和圆

抛物线：2016年文科数学全国卷一题20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

抛物线和圆：2017年理数全国卷三题20

抛物线的弦：2017年文数全国卷一题20

抛物线与圆：2018年数学全国卷二题20（文理同题）

抛物线的弦：2019年理数全国卷三题21

抛物线的弦：2019年理数全国卷一题19

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

第4组：椭圆

椭圆：2010年文科数学全国卷题20

椭圆：2010年理数全国卷题20

椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）

椭圆：2020年全国卷三题20

椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题）

第5组：两角相等

两角相等：2018年文数全国卷一题20

两角相等：2018年理数全国卷一题19

两角相等：2015年理数全国卷一题20

两角相等：2015年理数北京卷题19

第6组：弦长和面积

弦长和面积：2014年理数全国卷一题20

弦长和面积：2013年理数全国卷二题20

弦长和面积：2016年理数全国卷一题20

弦长和面积：2019年全国卷二题21

弦长和面积：2016年理数全国卷二题20

弦长和面积：2016年数学全国卷三题20（文理同题）

第7组：定点与定值

定点与定值：2017年理数全国卷一题20

定点与定值：2020年全国卷一题20

定点与定值：2020年新高考1卷题21

第8组：圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线的第二定义：2018年文数全国卷三题20

圆锥曲线的第二定义：2018年理数全国卷三题20

第9组：向量与曲线

向量与曲线：2011年理数全国卷题20

向量与曲线：2017年数学全国卷二题20（文理同题）

向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

向量与曲线：2007年理数海南卷题19

向量与曲线：2008年理数海南卷题20

第10组：2020年~2022年的最新考题

弦长和面积：2020年新高考2卷题21

2020年全国卷二题20

2021年全国甲卷题20

2021年全国乙卷题21

2021年新高考1卷题21

2021年全国新高考2卷题20

2022年全国卷甲题20

2022年全国新高考卷1题21

2022年全国新高考卷2题21

2022年全国卷乙题20

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$\mathbb{3.6}$ 抛物线与圆：2018年数学全国卷二题20（文理同题）

$\mathbb{3.7}$ 抛物线的弦：2019年理数全国卷三题21

$\mathbb{3.8}$ 抛物线的弦：2019年理数全国卷一题19

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$\mathbb{4.1\,A}$ 椭圆：2010年文科数学全国卷题20

$\mathbb{4.1\,B}$ 椭圆：2010年理数全国卷题20

$\mathbb{4.2}$ 椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）

$\mathbb{4.3}$ 椭圆：2020年全国卷三题20

$\mathbb{4.4}$ 椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题） $\heartsuit$

$\mathbb{5.1}$ 两角相等：2018年文数全国卷一题20

$\mathbb{5.2}$ 两角相等：2018年理数全国卷一题19

$\mathbb{5.3}$ 两角相等：2015年理数全国卷一题20

$\mathbb{5.4}$ 两角相等：2015年理数北京卷题19

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$\mathbb{6.2}$ 弦长和面积：2013年理数全国卷二题20

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$\mathbb{6.4}$ 弦长和面积：2019年全国卷二题21

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