高等数学基础02：极限

数列

按照一定次数排列的一列数：u_1,u_2,...,u_n,... ，其中 u_n叫做通项。

对于数列\{ u_n \} , 如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A， 则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。

极限

符号表示：
x \to \infty 表示 “当|x|无限增大时”；
x \to +\infty 表示 “当x无限增大时”；
x \to -\infty 表示 “当|x|无限减少时”；
x \to x_0 表示 “当x从x_0的左右两侧无限接近于x_0时”；
x \to x_0^+ 表示 “当x从x_0的右侧无限接近于x_0时”；
x \to x_0^- 表示 “当x从x_0的左侧无限接近于x_0时”；

函数在x0的邻域内有定义，




左右极限：函数在左半邻域/右半邻域内有定义



的充要条件是


当x \to 0时 f(x)的极限
解：

左右极限存在但不相等，
\therefore \lim_{x \to 0}f(x)不存在

无穷小：以零为极限

基本性质：
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2.有限个无穷小的积仍是无穷小
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。


无穷小的商不一定是无穷小。


极限有无穷小的关系：
\lim_{x \to x_0} f(x)=A的充要条件f(x)=A+\alpha(x)，其中\alpha(x)是x \to x_0时的无穷小。
无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。

无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果 f(x)为无穷大，那么 \frac{1}{f(x)}为无穷小。
无穷小的比较：
\alpha=\alpha(x), \beta=\beta(x)都是无穷小

如果

则称β是比α高阶无穷小

则称β是比α低阶无穷小

则称β与α是同阶无穷小

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