高等数学——导数与微分

0. 预备

0.0 三角函数

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0.1 三角函数公式

和差角公式
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha\,cos\, \beta - sin\, \alpha\, sin\,\beta$
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha\,cos\, \beta + sin\, \alpha\, sin\,\beta$
$sin(\alpha \pm \beta) = sin\,\alpha\,cos\, \beta \pm cos\, \alpha\, sin\,\beta$
$tan(\alpha + \beta) = \frac {tan\,\alpha\, + tan\, \beta} {1 - tan\, \alpha\, tan\,\beta}$
$tan(\alpha - \beta) = \frac {tan\,\alpha\, - tan\, \beta} {1 + tan\, \alpha\, tan\,\beta}$
和差化积公式
$sin\,\alpha + sin\,\beta = 2sin\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
$sin\,\alpha - sin\,\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
$cos\,\alpha + cos\,\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
$cos\,\alpha - cos\,\beta = -2sin\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
$tan\,\alpha \pm tan\,\beta = \frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos\alpha\, cos \beta}$
$cot\,\alpha \pm cot\,\beta = \pm\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{sin\alpha\, sin \beta}$
积化和差公式
$sin\,\alpha\, cos\,\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)]$
$cos\,\alpha\, sin\,\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)]$
$cos\,\alpha\, cos\,\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)]$
$sin\,\alpha\, sin\,\beta =- \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)]$
二倍角公式
$sin\,2\alpha = 2sin\,\alpha\, cos\,\alpha$
$cos\,2\alpha = 2cos^{2}\,\alpha - 1 = 1- 2sin^{2}\,\alpha = cos^{2}\,\alpha - sin^{2}\,\alpha$
$tan\,2\alpha = \frac {2tan\,\alpha} {1 - tan^{2}\, \alpha}$

0.2 等差数列

其中等差数列的首项为 $a_{1}$ ，末项为 $a_{n}$ ，项数为 $n$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $s_{n}$ 。
通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n-1)\times d$
求和公式 $s_{n} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d,n\in N^{*}$

0.3 等比数列

其中 $a_{1}$ 为首项， $q$ 为等比数列公比， $s_{n}$ 为等比数列前 $n$ 项和。
通项公式 $a_{n} = a_{1}q^{n-1}$
求和公式 $s_{n} = \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1)$

1. 集合

1.1 集合的运算法则

交换律： $A\cup B = B\cup A$ , $A\cap B = B\cap A$
结合律：
分配律：
对偶律： $(A\cap B)^{c}= A^{c}\cup B^{c}$ ， $(A\cup B)^{c}= A^{c}\cap B^{c}$

2. 极限

2.1 无穷小

定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小

定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积是无穷小；

定理 3 如果 $lim\,f(x) = A,\, lim\,g(x) = B$ ，那么
(1) $lim[f(x)\pm g(x)] = lim\,f(x) \pm lim\,g(x) = A \pm B$
(2) $lim[f(x) \cdot g(x)] = lim\,f(x) \cdot lim\,g(x) = A \cdot B$
(3) 若又有 $B \neq 0$ ，则：
$lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim\,f(x)}{lim\,g(x)} = \frac{A}{B}$

推论 2 如果 $lim\,f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，则
$lim[c\,f(x)] = c\, lim\, f(x)$

推论 3 如果 $lim\,f(x)$ 存在，而 $n$ 是正整数，则
$lim[f(x)]^{n} = [lim\, f(x)]^{n}$

定理 4 如果 $\varphi (x)\geqslant \psi (x)$ ，而 $lim\,\varphi (x)=a, lim\,\psi (x)=b$ ，那么 $a\geqslant b$

2.2 无穷小的比较

$\alpha$ 和 $\beta$ 都是同一自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$ ， $lim \frac{\beta}{\alpha}$ 是在这个变化过程中的极限，则有以下定义：

如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$ ，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$ ，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha^{k}}=c\neq 0,k>0$ ，就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ ，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等阶无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$

定理 1 $\alpha$ 和 $\beta$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $\beta = \alpha + o(\alpha)$

定理 2 设 $\alpha \sim \alpha' , \beta \sim \beta'$ ，且 $lim\, \frac{\beta'}{\alpha'}$ 存在，则 $lim\, \frac{\beta}{\alpha}= lim\, \frac{\beta'}{\alpha'}$

2.3 极限存在准则

准则 1 如果数列 $\{x_{n}\}$ 、 $\{y_{n}\}$ 及 $\{z_{n}\}$ 满足下列条件：
(1) 从某项起，即 $\exists\, n_{0} \in N$ ，当 $n > n_{0}$ 时，有 $y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}$
(2) $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,y_n=a,\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,z_n=a$
那么数列 $\{x_{n}\}$ 的极限存在，且 $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,y_n=a$

准则 1' 如果
(1) 当 $x \in \overset{\circ }{U}(x_0, r)$ （或 $|x| > M$ ）时， $g(x) \leqslant f(x)\leqslant h(x)$
(2) $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,g(x)=A,\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,h(x)=A$
那么 $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}f(x)$ 存在，且等于 $A$

准则 2 单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则 数列 $\{x_{n}\}$ 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，存在着这样的正整数 $N$ ，使得当 $m > N,n > N$ 时，就有 $|x_n - x_m| < \varepsilon$ 。

应用：

$\underset{x\rightarrow 0 }{lim}\frac {sin\,x}{x} = 1$
$\underset{x\rightarrow \infty }{lim}(1 + \frac{1}{x})^{x} = e$
$\underset{x\rightarrow 0 }{lim}\frac {a^{x} -1}{x} = ln\,a$
$\underset{x\rightarrow 0}{lim\,}x^{\alpha }ln\,x = 0\quad (\alpha > 0)$

2.4 极限的求法

提取因式，做等价替换
$0 \cdot \infty$ 改写成 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$ 有分母就通分，无分母创造分母
$\infty ^{0}$ 、 $0^0$ 、 $1^{\infty}$ 套用以下公式
$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)ln(u(x))}$
用泰勒公式进行展开时遵循两个原则
$\frac{A}{B}$ 型上下同阶原则：若分母（分子）是 $x$ 的 $k$ 次方，则将分子（分母）展开至 $k$ 次方；
$A-B$ 型幂次最低原则：将 $A$ 、 $B$ 分别展开至系数不相等的 $x$ 的最低次幂为止。

2.5 函数的连续性

结论 1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
注：
(1) 高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(2) 数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

结论 2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
注：
(1) 初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

零点定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a)\cdot f(b)<0$ ），那么在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi) = 0$

介值定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 $f(a)=A,f(b) = B$ ，那么对于 $B$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi) = C\,\,(a < \xi < b)$

2. 导数

2.1 定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ （点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$ ；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时极限存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $y=f'(x)$ ，即 $f'(x) = \underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

2.2 函数可导性与连续性

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

2.3 基本求导法则与导数公式

常数和基本初等函数的导数公式
$(C)' = 0$
$(x^{u})' = u\,x^{u-1}$
$(sin\,x)' = cos\,x$
$(cos\,x)' = -sin\,x$
$(tan\,x)' = sec^{2}\,x$
$(cot\,x)' = -csc^{2}\,x$
$(sec\,x)' = sec\,x\,tan\,x$
$(csc\,x)' = -csc\,x\,cot\,x$
$(a^{x})' = a^{x}ln\,a$
$(e^{x})' = e^{x}$
$(log_{a}x)' = \frac{1}{x\,ln\,a}$
$(ln\,x)' = \frac{1}{x}$
$(arcsin\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arccos\,x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctan\,x)' = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arccot\,x)' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

函数的和、差、积、商的求导法则
如果函数 $u = u(x)$ 及 $v = v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数，那么他们的和、差、积、商（分母为零的点除外）都在点 $x$ 具有导数，且
(1) $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
(2) $[C\,u(x)]' = C\,u'(x)$
(2) $[u(x)\, v(x)]' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)$
(3) $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\, v'(x)}{v^{2}(x)}(v(x)\neq0)$
反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数的导数的倒数，即 $[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(x)}$
参数方程求导
设函数 $y = y(x)$ 由
$\left\{\begin{matrix} x = \phi (t)\\ y = \psi (t) \end{matrix}\right.$
确定， $t$ 为参数，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
隐函数求导
方程两边分别对 $x$ 求导即可，把方程中的 $y$ 看作 $f(x)$ 。
对数求导法
例如： $y = \sqrt[5]{\frac{(x-3)^2(x+5)^3}{(x-1)^3}}$
幂指函数求导
例如： $y = x^{sin\,x}$
复合函数的求导法则
设 $y=u(x)$ ，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为 $y'(x) = f'(u)\,g'(x)$
变限积分求导
$F'(x) = \frac{d}{dx}(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt) = f[\phi_2(x)]\phi_1'(x) - f[\phi_1(x)]\phi_1'(x)$
$n$ 阶导数
$(sin\,x)^{(n)} = sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$
$(cos\,x)^{(n)} = cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$
$[ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}}$
$(x^{\mu})^{(n)} = \mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots (\mu-n+1)x^{\mu-n}$
$(u+v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_n^{k}u^{n-k}v^{k}$
$(u\,v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_n^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$

2.4 导数的应用

极值的判别 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ ，但 $f^{(n)}(x_0)\neq 0\,(n\geqslant 2)$ ，则当 $n$ 为偶数时，
$\left\{\begin{matrix} f^{(n)}(x_0) > 0\Rightarrow x_0 极小值点\\ f^{(n)}(x_0) < 0\Rightarrow x_0 极大值点 \end{matrix}\right.$

拐点的判别 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f''(x_0) = f'''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ ，但 $f^{(n)}(x_0)\neq 0\,(n\geqslant 3)$ ，则当 $n$ 为奇数时， $(x_0, f(x_0))$ 为曲线的拐点。

渐近线
(1) $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \infty$ 则函数存在渐近线 $x = a$ ；
(2) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = b$ 则函数存在渐近线 $y = b$ ；
(3) $\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{y}{x} = k \\ \lim_{x\rightarrow \infty}(f(x) - kx) = b \end{matrix}\right.$
则函数存在渐近线 $y = kx+b$

3. 微分

3.1 定义

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这区间内，如果增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ 可以表示为 $\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$ 其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$ ，即 $dy=A \Delta x$

结论 1 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且当 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是 $dy=f'(x)\Delta x$

3.2 微分公式

基本初等函数的微分公式
$d(x^{u}) = u\,x^{u-1}\,dx$
$d(sin\,x) = cos\,x\,dx$
$d(cos\,x) = -sin\,x\,dx$
$d(tan\,x) = sec^{2}\,x\,dx$
$d(cot\,x) = -csc^{2}\,x\,dx$
$d(sec\,x) = sec\,x\,tan\,x\,dx$
$d(csc\,x) = -csc\,x\,cot\,x\,dx$
$d(a^{x}) = a^{x}ln\,a\,dx$
$d(e^{x}) = e^{x}\,dx$
$d(log_{a}x) = \frac{1}{x\,ln\,a}\,dx$
$d(ln\,x) = \frac{1}{x}\,dx$
$d(arcsin\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$
$d(arccos\,x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$
$d(arctan\,x) = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx$
$d(arccot\,x) = -\frac{1}{1+x^{2}}\,dx$
注：其他也与导数类似
微分近似公式（假定 $|x|$ 是较小的数值）
$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{1}{n}x$
$sin\,x \approx x(x 用弧度做单位来表示)$
$tan\,x \approx x(x 用弧度做单位来表示)$
$e^{x} \approx 1 + x$
$ln(1+x) \approx x$

3.3 微分中值定理

费马引理 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x) \leqslant f(x_0)\,\,\,(或f(x) \geqslant f(x_0))$ 那么 $f'(x_0) = 0$

罗尔定理 如果函数 $f(x)$ 满足
(1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$
那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi \,(a< \xi <b)$ ，使得 $f'(\xi) =0$

拉格朗日中值定理 如果函数 $f(x)$ 满足
(1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导
那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi \,(a< \xi <b)$ ，使等式 $f(b)-f(a) = f'(x)(b-a)$ 成立

柯西中值定理 如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足
(1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导
(3) 对任一 $x\in (a,b), F(x)\neq0$
那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi \,(a< \xi <b)$ ，使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$ 成立

3.4 泰勒展开式

百科： 若函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个闭区间 $[a, b]$ 上具有 $n$ 阶导数，且在开区间 $(a, b)$ 上具有 $(n+1)$ 阶导数，则对闭区间 $[a, b]$ 上任意一点 $x$ ，下式成立：
$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n(x)$
其中 $R_n(x)$ 是泰勒公式的余项，是 $(x-x_0)^{n}$ 的高阶无穷小。

泰勒中值定理 如果函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，则对任一 $x\in (a, b)$ ，有 $f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n(x)$ 其中 $R_n(x) =\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值。

麦克劳林公式 在泰勒公式中，如果取 $x_0 = 0$ ，则 $\xi$ 在 $0$ 与 $x$ 之间，因此，可以令 $\xi=\theta x$ ，则泰勒公式可以写成 $f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \,(0<\theta<1)$

常用函数的泰勒展开式

$sin\,x = x - \frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$arcsin\,x = x + \frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$tan\,x = x + \frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$arctan\,x = x - \frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$cos\,x = 1 - \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{24}x^{4} + o(x^{4})$
$sec\,x = 1 + \frac {1}{2}x^{2} +\frac {5}{24}x^{4} + o(x^{4})$
$ln(x+1) = x - \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$e^{x} = 1 + x + \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac {\alpha (\alpha - 1)}{2}x^{2} + o(x^{2})$

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