从微分拓扑角度证明Brouwer不动点定理

半年前我发了一篇文，是从拓扑（准确来说是同伦）的角度证明Brouwer不动点定理. 这学期的几何讨论班选择了John W. Milnor的<Topology From The Differentiable Viewpoint>，很薄的一本书，但大师就有办法用三言两语把复杂的事情解释清楚. 书中带边流形的部分再一次出现了Brouwer不动点定理，对我来说是一个全新的证明思路，虽然最重要的步骤和上一篇文是一样的：作射线.

$\begin{align}Lem.&X是紧带边流形，则没有光滑映射f:X\rightarrow \partial X能够保持 \partial X不动.\\pf.& 反证，假设这样的f存在.\\&由Sard定理，正则点稠密，所以可取 y\in \partial X是f的正则值. 另外\\&因为f_{| \partial X}=id_{| \partial X}当然以 y为正则值，故 f^{-1}(y)是一个1-维的光\\&滑带边紧流形，以f^{-1}(y)\cap \partial X=\{y\}为边. 但是1-维紧流形是\\&有限个圆周、闭线段的（不交）并，故f^{-1}(y)应该是偶数个点，\\&矛盾！\quad \Box \end{align}$

有了这个引理，我们能证明光滑映射下的Brouwer不动点定理.

$\begin{align} Thm.&光滑映射g:D^n\rightarrow D^n总有不动点.\\ pf.&假设不然，则如上一篇文章作f(x)=\overline {g(x)x}\cap S^{n-1}.\\ &f不难验证是光滑的（只要写出显式立即就能看出，这里不赘述）,\\ &而且 f_{| S^{n-1}}=id_{|S^{n-1}},这与引理矛盾. \quad \Box \end{align}$

实际上我们已经证明了连续映射下的Brouwer不动点定理了：注意到多项式是光滑的以及Weiertrass逼近同样适用于多元函数，因此我们可以把连续映射的情形归结为光滑映射的情形. 这里不再赘述逼近的估计过程.

思考：实际上，为了证明连续映射的命题，可以先对光滑映射建立结果，再逼近（最后的逼近只消做一些估计，往往都是对的）.