半年前我发了一篇文，是从拓扑（准确来说是同伦）的角度证明Brouwer不动点定理. 这学期的几何讨论班选择了John W. Milnor的<Topology From The Differentiable Viewpoint>，很薄的一本书，但大师就有办法用三言两语把复杂的事情解释清楚. 书中带边流形的部分再一次出现了Brouwer不动点定理，对我来说是一个全新的证明思路，虽然最重要的步骤和上一篇文是一样的：作射线.
有了这个引理，我们能证明光滑映射下的Brouwer不动点定理.
实际上我们已经证明了连续映射下的Brouwer不动点定理了：注意到多项式是光滑的以及Weiertrass逼近同样适用于多元函数，因此我们可以把连续映射的情形归结为光滑映射的情形. 这里不再赘述逼近的估计过程.
思考：实际上，为了证明连续映射的命题，可以先对光滑映射建立结果，再逼近（最后的逼近只消做一些估计，往往都是对的）.
