R——概率统计与模拟（四）拒绝抽样

原创：hxj7

本文介绍了拒绝抽样（Reject Sampling）。

前文《R-概率统计与模拟（三）变换均匀分布对特定分布进行抽样》介绍了通过“变换均匀分布”来对特定分布进行抽样的方法，但是该方法需要知道累积分布的解析表达式及其反函数，所以有一定的限制。

其实，我们最常接触的还是 $\text{p.d.f.}$ ，根据 $\text{p.d.f.}$ 抽样往往更直接。比如，均匀分布的 $\text{p.d.f.}$ 就很简单，对其抽样也很方便。但是，对于一些复杂的 $\text{p.d.f.}$ ，直接抽样是不可取的，需要用其它方法。拒绝抽样就是其中一种。

下文分为五个部分：

拒绝抽样简介
利用拒绝抽样方法对 $\text{Gamma}$ 分布抽样
如何利用rand7对rand10抽样
蓄水池抽样算法
对拒绝抽样的补充说明

拒绝抽样简介

所谓拒绝抽样，是针对一个已知 $\text{p.d.f.}$ 的概率分布进行抽样的方法。具体步骤如下：

假设我们要对一个分布进行随机抽样，已知其 $\text{p.d.f.}$ 是 $p(x)$ 。

$p(x)$ 可能比较复杂以至于直接抽样有困难，我们可以选择一个容易抽样的分布，假设该分布 $\text{p.d.f.}$ 是 $q(x)$ ，再选择一个足够大的数 $M$ ，使得 $Mq(x)$ 始终比 $p(x)$ 大。

根据 $q(x)$ 抽取一个值 $x_i$ 。

从 $[0,1]$ 均匀分布中抽取一个数 $u_i$ ，如果 $u_i < \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)},$ 那么接受 $x_i$ 这个采样值，否则拒绝它。

重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。

通过这些步骤获取到的采样值就是符合 $p(x)$ 分布的。需要注意的是 $M$ 的取值，如果 $M$ 过大，会导致抽样过程中被拒绝的点增多，降低采样点的接受率。事实上，我们可以证明采样点的接受率是 $\frac{1}{M}$ ，所以 $M$ 的取值应该在保证 $Mq(x) > p(x), \forall x$ 的前提下尽可能得小。（相关的证明在文末。）

像上图一样，的取值要保证。

利用拒绝抽样方法对 $\text{Gamma}$ 分布抽样

上面的步骤比较抽象，我们举一个实际的例子来说明：我们怎么通过拒绝抽样的方法对 $\text{Gamma}(x, \alpha, 1)$ 进行抽样？
（选这个例子是因为它也用到了我们在前文提到的“变换均匀分布”的方法。）

我们对照上面的步骤一步一步来说：

我们知道，目标分布 $\text{Gamma}(x, \alpha, 1)$ 的 $\text{p.d.f.}$ 是：
$p(x) = \frac{e^{-x}x^{\alpha -1}}{\Gamma(\alpha)}$

显然 $p(x)$ 比较复杂，不易直接采样。我们选择一个较容易采样的分布，其 $\text{p.d.f.}$ 是：
$q(x) = \frac{\lambda \alpha^{\lambda} x^{\lambda-1}}{(\alpha^\lambda + x^\lambda)^2},$
我们选择 $M$ ：
$M = \frac{4e^{-\alpha} \alpha^\alpha}{\lambda \Gamma(\alpha)},$
所以：
$Mq(x) = \frac{4e^{-\alpha} \alpha^{\lambda + \alpha} x^{\lambda-1}}{\Gamma(\alpha) (\alpha^\lambda + x^\lambda)^2}.$
可以证明，当 $\alpha > 1$ 并且 $1 \le \lambda \le \sqrt{2\alpha - 1}$ 时，对所有 $x$ 都有 $p(x) < Mq(x)$ 。并且可以看出，当 $\lambda$ 取值不同时， $q(x)$ 、 $M$ 以及 $Mq(x)$ 都是在变化的，也会影响到接受率。

根据 $q(x)$ 抽取一个值 $x_i$ 。看起来 $q(x)$ 也是蛮复杂的，怎么对其抽样呢？我们可以通过变换均匀分布的方法来实现：
我们从 $[0,1]$ 的均匀分布中抽取一个值 $r_i$ ，然后令
$x_i = \alpha \left(\frac{r_i}{1-r_i} \right)^{1 / \lambda}$
这种通过变换均匀分布的方式得到的 $x_i$ 等价于从 $q(x)$ 中抽取 $x_i$ 。

从 $[0,1]$ 均匀分布中抽取一个数 $u_i$ ，如果 $u_i < \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)},$ 那么接受 $x_i$ 这个采样值，否则拒绝它。

重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。

上文已经提及， $\lambda$ 取值不同会影响 $M$ 值，从而影响到接受率。为了验证这一点，笔者写了一段代码来做一个实验：
假设我们让 $\alpha=5$ ，再分别让 $\lambda=3$ 以及 $\lambda=1$ 来看看 $\lambda$ 取值不同对接受率的影响。
代码如下：

# Step1. p(x)函数
px <- function(x, a) dgamma(x, shape=a, scale=1)  

# Step2. q(x)函数
qx <- function(x, a, l) a ^ l * l * x ^ (l - 1) / ((a ^ l + x ^ l ) ^ 2)  
getM <- function(a, l) 4 * exp(-a) * a ^ a / (gamma(a) * l)  # 计算M值
mqx <- function(x, a, l, M) M * qx(x, a, l)     # Mq(x)函数

# Step3. 变换均匀分布以便对q(x)抽样的函数
transUnif <- function(x, a, l) a * (x / (1 - x)) ^ (1 / l)

# 单纯为了画p(x)的理论曲线用的函数
px.1 <- function(x) px(x, alpha)  
# 单纯为了画lambda=lambda.1时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.1 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.1, M.1)  
# 单纯为了画lambda=lambda.2时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.2 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.2, M.2)

ogamma <- function(a, l, M) {
  while (T) {
    x <- runif(1, 0, 1)
    y <- transUnif(x, a, l)   # 变换均匀分布实现对q(x)的抽样
    u <- runif(1, 0, 1) 
    if (u < px(y, a) / mqx(y, a, l, M))   # Step4. 是否接受采样点
      break
    nfail <<- nfail + 1   # 记录被拒绝的次数
  }
  y
}

sgamma <- function(n, a, l, M) {
  set.seed(123)
  replicate(n, ogamma(a, l, M))
}

N <- 100000
alpha <- 5

# 第一种lambda值的效果
lambda.1 <- sqrt(2 * alpha - 1)
M.1 <- getM(alpha, lambda.1)
nfail <- 0
res.1 <- sgamma(N, alpha, lambda.1, M.1)
nfail / (nfail + N)   # 计算模拟的拒绝率，14.38%
1 - 1 / M.1         # 计算理论的拒绝率，14.51%
plot(density(res.1), xlim=c(0, 20), col="red", xlab="x",
    main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)\nwith lambda=", lambda.1))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.1, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
       col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")

# 第二种lambda值的效果
lambda.2 <- 1
M.2 <- getM(alpha, lambda.2)
nfail <- 0
res.2 <- sgamma(N, alpha, lambda.2, M.2)
nfail / (nfail + N)   # 计算模拟的拒绝率，71.54%
1 - 1 / M.2          # 计算理论的拒绝率，71.50%
plot(density(res.2), xlim=c(0, 20), ylim=c(0, 0.7), col="red", xlab="x",
     main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)\nwith lambda=", lambda.2))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.2, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
       col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")

当 $\alpha=5, \lambda=3$ 时，代码模拟出的接受率是 $85.62\%$ ，理论上的接受率是 $\frac{1}{M}=85.49\%$ ，很接近。采样点的具体分布如下：

当时，代码模拟出的接受率是，理论上的接受率是，也很接近。采样点的具体分布如下：

我们可以看出，当分别取和时，接受率从下降到了。所以，对接受率的影响是非常大的。

如何利用rand7对rand10抽样

这来源于一个常见的算法题：如果已知一个rand7()函数，它可以从1到7这7个数字中随机地、等概率地抽取一个数，那么如何利用rand7()函数实现rand10()函数呢？所谓rand10()函数，就是这个函数可以从1到10这10个数字中随机地、等概率地抽取一个数。

这个问题的一个常见解答步骤是：

首先利用 $[rand7() - 1] \times 7 + rand7()$ 这个表达式实现从1-49这49个数中随机而等概率地抽取一个数 $x$ ；

如果 $x \le 40$ ，那么接受 $x$ ，并将 $x \% 10 + 1$ 的值作为一个采样点；否则拒绝 $x$ ；那么这样得到的一系列采样点就是符合预期要求的。

这个解答步骤为什么是正确的，证明也很简单，和文末的证明过程类似，所以在此略过。那为什么要介绍这个题目呢？因为我们看到抽样过程中也涉及到了“接受-拒绝”的过程，所以笔者认为这可以看作文初所述的拒绝抽样过程的一种变型。

这个问题的代码也很简单：

rand7 <- function() {
  sample(7, 1)    # 从1-7中随机抽取一个整数
}

rand10 <- function() {
  while (T) {
    x <- (rand7() - 1) * 7 + rand7()   # 1-49 uniformly.
    if (x <= 40)
      break
  }
  x %% 10 + 1    # 一个服从均匀分布的rand10的采样值
}

N <- 100000  # 样本大小
set.seed(123)
res <- replicate(N, rand10())
hist(res, prob=T, breaks = 0:10, ylim=c(0, 0.15), xlab="x",
     main="Simulation of rand10")
abline(h=0.1, col="red", lty=2)

结果如下：

从上图中可以看出，rand10()的抽样结果符合均匀分布，达到预期。

蓄水池抽样算法

如同上面rand10()的题目一样，蓄水池算法的实现过程中也涉及到了“接受-拒绝”过程，所以在此一并介绍：

所谓蓄水池抽样算法，主要应用于如下问题：即我们要从 $1,2,\ldots,N$ 这 $N$ 个样本中随机抽取 $m$ 个样本， $N$ 非常大或者未知，且 $m << N$ 。
蓄水池抽样算法的步骤是：

首先将 $1,2,\ldots,m$ 这 $m$ 个样本选进来；

从 $i=m+1$ 开始，从 $[1, i]$ 中随机等概率抽取一个数 $r$ ，如果 $1 \le r \le m$ ，那么用第 $i$ 个样本替代第 $r$ 个样本。否则不做处理

$i=i+1$ 。

重复第2步和第3步，直至处理完全部的样本。

其证明过程也很简单，用归纳法即可。笔者曾经写过一篇文章介绍了该算法在测序数据reads抽取方面的应用：《算法（二）蓄水池抽样算法快速随机抽取reads》。

对拒绝抽样的补充说明

为什么按照拒绝抽样的过程进行抽样所得到的采样点就是符合 $p(x)$ 的分布的？

证明：
首先我们给出一些记号：假设我们将目标分布 $p(x)$ 中的点记为 $\hat{X}$ ，从 $q(x)$ 中抽取的任意一个值记为 $X$ ；并且让事件 $A$ 代表 $X$ 这个值被接受了。如果当 $X=x_i$ 时被接受了，那么就是 $\hat{X}=X=x_i$ 。

有了这些记号，我们可以很容易地知道：
$\Pr(A|X=x_i)=\Pr \left[u_i < \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)} \right] = \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)}$

利用全概率公式，我们知道：
$\begin{aligned} \Pr(A) & = \int \Pr(A|X=x_i) \, q(x_i) {\rm d}x_i \\ & = \int \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)}q(x_i) {\rm d}x_i \\ & = \frac{1}{M} \int p(x_i) {\rm d}x_i \\ & = \frac{1}{M} \end{aligned}$

最终，我们想要知道的 $\hat{X}$ 的分布：
$\Pr(\hat{X} \le x_i) = \Pr(X \le x_i|A)$

利用贝叶斯公式，我们有：
$\begin{aligned} \Pr(\hat{X} \le x_i) & = \Pr(X \le x_i|A) \\ & = \frac{\Pr(X \le x_i, A)}{\Pr(A)} \\ & = \frac{\displaystyle \int^{x_i} q(t)\frac{p(t)}{Mq(t)} {\rm d}t}{\Pr(A)} \\ & = \cfrac{\cfrac{1}{M} \displaystyle \int^{x_i} p(t) {\rm d}t}{\cfrac{1}{M}} \\ & = \int^{x_i} p(t) {\rm d}t \end{aligned}$

所以可以证明，依照拒绝抽样过程得到的采样点符合 $p(x)$ 分布。

拒绝采样的接受率如何计算？

从上面的证明过程中可以看出，接受率就是 $\Pr(A)$ ，等于 $\frac{1}{M}$ 。上述证明过程是笔者按照自己的理解写的，如果有错误，请朋友们指正。

小结

本文介绍了拒绝采样，并以 $\text{Gamma}$ 分布、rand10以及蓄水池抽样算法等三个例子加以说明。拒绝采样不同于变换均匀分布的方法，它是直接根据 $\text{p.d.f.}$ 进行抽样。其缺点是要找到合适的 $q(x)$ 和 $M$ 值并不容易，尤其是在高维的情况下， $M$ 值往往偏大，从而导致拒绝率很高。

参考

《生物序列分析》第11章

（公众号：生信了）