几何分布与无记忆性

【概率】几何分布与无记忆性

几何分布的定义

几何分布：若随机变量 $X$ 的分布列为

$P(X = k) = pq^{k-1}, \quad k = 1, 2, \cdots$

其中 $0 < p < 1$ ， $q = 1 - p$ ，则称 $X$ 服从几何分布。

因为

$\sum_{k=1}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} pq^{k-1} = \frac{p}{1-q} = 1$

所以定义是合理的，容易计算：

$P(X > n) = \sum_{k=n+1}^{\infty} pq^{k-1} = \frac{pq^n}{1-q} = q^n$
这里定义的合理性指的是所有情况的概率之和应该等于1。

常见几何分布的例子

【几何分布典例】在独立重复试验中，设每次试验事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，以 $X$ 记事件 $A$ 首次发生时所需的试验次数，说明 $X$ 服从几何分布。

验证这是一个几何分布的例子。

几何分布的期望：

$E(X) = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{p}$

①根据期望的计算公式 $E(X)=\Sigma_{k=1}^{\infty} kP(x=k)$ 来计算上面的结果。

提醒：无穷级数和 $1+ q + q^2 +q^3 +\cdots = \frac{1}{1-q}$ ，其中 $0<q<1$ .

几何分布的方差
$D(X)=\frac{1-p}{p^2}$
②如何计算这一方差？

提醒，我们知道 $D(X) = E(X^2)-E^2(X)$ 。

无记忆性

无记忆性：取自然数值的随机变量 $X$ 服从几何分布的充要条件是 $X$ 具有无记忆性

$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

对任意的自然数 $m, n > 1$

充分性自行验证，下面我们简单写一下必要性。
必要性证明：

设 $g(n) = P(X > n)$ ，

由 $P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$ 知，对任意的 $m, n > 1$ ，有 $g(n) > 0$ ，且 $g(m + n) = g(m)g(n)$ 。

解该方程得 $g(n) = g(1)^n$ 。

由 $g(+\infty) = 0$ 知 $g(1) < 1$ 。记 $q = g(1)$ ， $p = 1 - q$ ，则对任意的 $k \leq 1$ ，有

$\begin{align*} P(X = k) &= P(X > k - 1) - P(X > k) \\ &= q^{k-1} - q^k \\ &= pq^{k-1} \end{align*}$

得证 $X$ 服从几何分布。

这表明，在做了 $m$ 次试验事件 $A$ 未发生的条件下，再做 $n$ 次试验事件 $A$ 仍未发生的概率等于从开始算起直接做 $n$ 次试验事件 $A$ 未发生的概率。也就是说，前面做的 $m$ 次试验被忘记了。这主要是由于是独立重复试验，前面试验的结果对后面试验结果的概率没有影响造成的。

模考题部分

1.【浙江温州 25 届高三一模 T8】飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数。在一次游戏中，飞机距终点只剩 3 步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 $X$ 。则 $E(X) = ( \ )$
$A. 3 \quad B. 4 \quad C. 5 \quad D. 6$

可以用几何分布的期望，也可以用马尔可夫链思考。

2.【24 届武汉四调 T19】已知常数 $p \in (0,1)$ ，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数， $X$ 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布。

（1）对于正整数 $k$ ，求 $P(X = k)$ ，并根据 $E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k P(X = k) = \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n} k P(X = k)\right)$ 求 $E(X)$ ；

（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_2$ ，现提供一种求 $E_2$ 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 $E_2$ ，即总的试验次数为 $(E_2 + 1)$ ；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 $(E_2 + 2)$

(i) 求 $E_2$ ；

(ii) 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_n$ ，求 $E_n$ 。

3.【24 届镇海中学高三上期末 T17】某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 10 元，现有以下两种方案。方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 $p_1$ ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为 $p_2$ ，若连续 99 次未抽中，则第 100 次必中新皮肤。已知 $0 < p_2 < p_1 < 1$ ，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 $X$ ， $Y$ （元）

（1）求 $X$ ， $Y$ 的分布列；

（2）求 $E(X)$ ；

（3）若 $p_1 = 2p_2 = 0.02$ ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案。（参考数据： $0.99^{100} \approx 0.37$ 。）

4.【23 届江苏盐城中学高三三模 T20】2021 年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久运动。某射击运动爱好者甲来到靶场练习。

（1）已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有 $k(k \in \mathbb{N}^*)$ 发子弹，甲每次打靶的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击。记标靶上的子弹数量为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（2）若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 6 发子弹，现有一枪支其中有 $m(m \geq 1)$ 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行 $n(n \in \mathbb{N})$ 次射击后，记弹巢中空包弹的发数为 $X_n$ ，

① 当 $k \in \mathbb{N}^*$ 时，请直接写出数学期望 $E(X_n)$ 与 $E(X_{n-1})$ 的关系；

② 求出 $E(X_n)$ 关于 $n$ 的表达式。