标准数独-基本技巧

这里对数独一些不太难的技巧进行了概况，全部掌握的话，就能尝试做高级或一部分骨灰级难度的题目了（大概）。

规则

数独盘面是 9×9 的网格。使用数字 1 到 9 填充所有的空格，使得：

每个3×3 宫中的数字不重复。
每一列中的数字不重复。
每一行中的数字不重复。

为简化表述，约定一些名词。
盘面：当前整个数独。
盘面内元素有：单元格（简称格）、行、列、宫（粗线包围的3×3的区域）。
区域：某一行或列或宫。
候选数：当前格内所有可能填的数的集合。
删数：根据推理删掉格内某个候选数。
出数：根据推理在格内填入数字。

坐标写法

约定坐标的写法：用 r 表示行（从上到下分别为r1至9），用 c 表示列（从左到右分别为c1至9），用 b 表示宫（逐行从左到右分别为b1至9）。

策略分类

直观：通过观察盘面推理出答案。
候选数：通过标注候选数来辅助做题。
- 局部标记：一边做题一边标记。
- 全部标记：将每个格子可能填的数都标记出来。

基本技巧

基本技巧可以直接出数

排除 | Hidden Single

分为宫排除（Hidden Single in Block）和行列排除（Hidden Single in Row/Column）。
某个数字在某一个区（行/列/宫）里仅有一处可以填。

图中黑色数字为盘面，绿色数字为推理得到的结果。橙色格子为用到的条件，红色格子为通过条件有删数的格子，绿色格子为最后出数的格子。

上图中，对于b6，r4c2和r6c5中的2导致r4c89和r6c789不能填2，所以b6内只有r5c8可以填2。

同理，上图中，r9中只有c4能填4。

唯一余数 | Naked Single

对某一格进行点算（Full House），就是在宫行列中依次寻找数字1、2、3，一直到数字9。上图中，对r9c8进行点算后发现这个格子只能填6。
有些唯一余数在直观策略下不易发现，通常我们会优先聚焦于已经填了比较多数字的区域。但这种方法不会一直奏效，我们需要持续培养自己对数字的敏感性。

进阶技巧

区块 | Locked Candidates

有时通过排除法，我们没法将某个数字的可填范围缩小到一个格子，而是二到三个格子。但这依旧是有价值的，如果这两三个格子在同一行或列，我们称其为一个区块。
很多时候区块配合基本技巧可以出数。及时不能立即出数，将发现的区块做好标记，也很有可能帮助到之后的推理。

宫区块 | Pointing

当某宫中某候选数只存在于某行（列）时，意味着在其他宫中此行（列）不能填该数。

如左图，对b6使用排除法能确定数字1只能出现在r6，所以b3、b4的r6均不能再填入1。再如右图对b4使用排除法即可出数。

行列区块 | Claiming

当某行（列）中某候选数只存在于某宫中，意味着此宫中其他行（列）不能填该数。

例子待补充

数组 | Subset

一个区域内，当某n个单元格只能填某n个数时，形成显性数组。这个区域内其他格子不能再填入这n个数。
一个区域内，当某n个数只能填入某n个单元格时，形成隐性数组。这某n个单元格内不能再填入其他数。
由2、3、4各数字构成的数组分别称为数对（Pair）、三数组（Triple）、四数组（Quadruple）。

隐性 | Hidden

一个区域内，某n个数只能填入某n个单元格。
直观策略下，我们往往更容易发现这种数组。

左图中，b6 的 r46 不能填 6 或 9，那么 6 和 9 只能填到 b6r5 的两个空格中，形成数对。虽然尚不能确认具体怎么填，但一定是某一格填 6，另一格填 9，这两格中不能再填其他数。
再次在 b6 内利用排除法，能确定8的位置。

（死锁数组待补充）

显性 | Naked

一个区域内，某n个单元格只能填某n个数。
全标策略下，这种数组比较容易发现，所以叫做显性数组。但是在直观策略下依旧能通过技巧找到一部分显性数组。

如左图，b6 中已有 268，c9 中已有 135，这两个区域的交集 r456c9 中只能填 479，形成三数组。再如右图在 b9 内使用排除法，可出数。

再如这张图，b4 和 b6 中相同的候选数似乎是出题人故意设置，提醒我们从这里找突破口，从而找到 b5 中的 14 数对。再在 c5 内使用排除法可出数。

简单鱼 | Fish

在某n个行（列）内，某个数字x只能出现在固定的某n个列（行）内，则该n个列（行）内其他格子不会再出现数字x。
n=2 时称为矩形对角线（X-Wing），n=3 时称为剑鱼（Swordfish），n=4 时称为水母（Jellyfish）。

如图，在 c35 中都只有两个空格了，我们能轻易发现这两列中的 1 还没有填，进而找到关于 1 的 X-Wing。此时，数字 1 在这四个格子中只有两种填法：①左上角和右下角填 1；②右上角和左下角填 1。无论那种情况，红色区域都不能再填 1。

简单翼 | Wing

先介绍一个概念，我们知道在同一区域（行、列、宫）的两个格子是会相互影响的，我们称这两格能相互看到（See）。

n个双值格（有两个候选数的单元格）都包含同一个候选数 $A$ ，也就是说这几个格的候选数分别为 $\{A,X_1\}$ 、 $\{A,X_2\}$ 、...、 $\{A,X_n\}$ 。这几个格子能看到同一个单元格，且这个单元格的候选数为 $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$ 或 $\{A,X_1, X_2, ..., X_n\}$ （这个 $A$ 被称为折点）。这个结构中至少有一个格子中的候选数 $A$ 为真（也可以说至少有一个格子要填 $A$ ）。
n=2 且无折点时称为 XY-Wing，n=2 且有折点时称为 XYZ-Wing，n=3 时称为 WXYZ-Wing，n=4 时称为 VWXYZ-Wing。

此类 Wing 结构的特点，就是多个包含同一候选数的双值格。
直观策略下，一般会先考虑已有数字比较多的区域。如果发现了若干个双值格，就可以尝试考虑此类结构。

如上图，在标出 b1 和 b7 的候选数后，能看到橙色和蓝色格构成 Wing 结构，两个候选数 3 之中至少有一个为真，这导致 r2c3 一定不能填 3。
对于其原理，我们可以利用反证法思考。假设两个候选数 3 全为假，则橙色格分别填 5 和 4，这会导致蓝色格无数可填，这是不可能的，所以假设是错误的。

简单链 | Chain

了解强链和弱链

若A为假，可推出B为真，则A到B为强链。
若A为真，可推出B为假，则A到B为弱链。
显然有以下推论：
同一区域内的相同候选数之间、同一格内不同候选数之间均为弱链。
若一区域内某个候选数 A 只在两格内出现，则这两个 A 之间为强链。若一个内只剩两个候选数，则这两个候选数之间为强链。

摩天楼 | Skyscraper

摩天楼由同一数字的两条垂直（或水平）的强链和一条水平（或垂直）的弱链首尾连接而成。

如图，我们能发现 c4 和 c7 中均只有两格能填 7，形成两条强链。且两条强链各有一端在 r8，形成一条弱链。三条链首尾相连，形成一条长链，可以按如下写法表示：
r1c4(7) = r8c4(7) - r8c7(7) = r1c7(7)
其中双线表示强链，单线表示弱链。这条长链有两个特点：①强链和弱链交替出现；②开头和结尾都是强链。

对于这种长链，我们按两种情况讨论：

r1c4 填 7。
r1c4 不填 7，则可以推出 r8c4 填 7，r8c7 不要填 7，r1c7 填 7。

两种情况下，r1c4 和 r1c7 中至少一格要填 7，所以两格的共同作用域（共同看到的格子，如 r1c9）排除填 7 的可能性。

双线风筝 | 2-String Kite

双线风筝是由同一数字构成的链。包含一条垂直（或水平）的强链和一条水平（或垂直）的强链，且两条强链各有一端在同一宫。

多宝鱼 | Turbot Fish

多宝鱼是由同一数字构成的链。包含一条垂直（或水平）的强链和一条宫内的强链，且两条强链各有一端在同一行（或列）。

简单致命结构 | Deadly Pattern

唯一矩阵 | Unique Rectangle

标准数独应该有唯一解，利用这一点性质可以帮助我们推理。

标准型

像上图的情况，我们会发现蓝色格填1橙色格填2或者蓝色格填2橙色格填1都是可行的，这样就有两个解了。这种情况是不可能出现的，如果出现了，要不是做错了，要不是题目有问题

解题时，如果发现即将出现这种情况，应该将其破坏掉。

如图，如果r1c2填入1或2后，就会出现上面提到的情况，这是要避免的，所以要删掉候选数12。

通常，唯一矩阵在全标策略下容易使用，但是直观或局部标记策略下也可以找到一部分唯一矩阵。

c7和b6都只剩两个空格，于是在这些空格上点算，马上就能发现唯一矩阵，r1c8中的15应该删掉。

全双值坟墓 | Bivalue Universal Grave

当盘面剩下的所有空格里都只有两个候选数，且无法通过排除法删数时，这个结构叫做全双值坟墓（Bivalue Universal Grave），简称 BUG。

我们来分析一下这个结构的特点：
定义中提到两个基本特点：全双值格和无法通过排除法删数。
无法通过排除法删数，意味着每个候选数在同区域内至少出现两次。
其实，每个候选数在同区域内恰巧出现两次。下面我们简单证明一下。设一个区域内有n个空格，则一定有n种候选数。每个候选数至少出现2次，则该区域内候选数总数≥2n。若存在某候选数数量超过2，则该区域内候选数总数＞2n。而全双值决定了该区域内候选数总数=2n，产生矛盾，所以不存在某候选数数量超过2。证毕。

全双值坟墓会导致什么后果：
盘面上已有数已经无法约束这个结构内部的填数了，只能从某个空格开始试数。
如一个空格有候选数{A,B}，尝试填A，之后通过逻辑继续填下去，这会导致几种可能的后果：

出现矛盾，无解。
能填完，也就是有解。但该格如果填B的话，刚才所有填的格子全换成候选数里的另一个数，依旧是一个解，于是出现了两个解。
填了一部分后，剩下的格子无法通过逻辑推理出数，这时剩下的结构又是全双值坟墓。只能继续挑一个空格试数，依旧有三种可能的后果。直到最后出现无解或多解的情况。

总之，全双值坟墓会导致无解或多解。标准数独中不可能出现这种情况。

上图的盘面已经十分接近全双值坟墓，只有 r2c8 多一个候选数，所以叫做 BUG+1。这个多出的候选数是 2，因为根据上面的分析，全双值坟墓结构中每个候选数在同区域内恰巧出现两次，而 b3 中候选数 2 出现了3次。
若 r2c8(2) 为假，则形成全双值坟墓，这是不可能的，所以 r2c8(2) 为真。

高难的技巧

这里就不写了，大家去看高手们的教程吧。
【数独】标准数独技巧教程 6.0
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