第三章 一般随机变量
对于随机变量
，若存在一个非负函数
，使得:
%20%3D%5Cint_Bf_X(x)dx)
对每一个实数轴上的集合
都成立，则称为连续随机变量，函数就称为的 概率密度函数。
特别，当是一个区间的时候
%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20f_%7BX%7D(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20x)
%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%3D%7BP%7D(-%5Cinfty%3CX%3C%5Cinfty)%3D1)
3.1.1 期望
![E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x.](https://math.jianshu.com/math?formula=E%5BX%5D%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dxf_X(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx.)
3.2 分布函数
%3DP(X%20%5Cleqslant%20x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%20%5Csum_%7Bk%20%5Cleqslant%20x%7D%20p_%7BX%7D(k)%2C%20%26%20%5Ctext%20%7B%20%E8%8B%A5%20%7D%20X%20%5Ctext%20%7B%20%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%9A%84%2C%20%7D%20%5C%5C%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7Bx%7D%20f_%7BX%7D(t)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%2C%20%26%20%5Ctext%20%7B%20%E8%8B%A5%20%7D%20X%20%5Ctext%20%7B%20%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%9A%84.%20%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
CDF:分布函数
3.3 连续随机变量的贝叶斯准则
令
为连续的随机变量
- 若为连续随机变量，我们有
f_%7BY%7D(y)%3Df_X(x)f_%7BY%7CX%7D(y%7Cx))
%20%3D%20%5Cfrac%7Bf_X(x)f_%7BY%7CX%7D(y%7Cx)%7D%7Bf_Y(y)%7D%3D%5Cfrac%7Bf_X(x)f_%7BY%7CX%7D(y%7Cx)%7D%7B%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df_X(t)f_%7BY%7CX%7D(y%7Ct)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D)
例题(信号检测)
设
是一个只取两个值的信号。记%3Dp)
和%20%3D%201-p)
。在接收端，得到的信号为
，其中
是一个正态分布，期望为0，方差为1，并且与相互独立。当观察到的信号为
的时候，
的概率是多少?
对于给定的
，，是一个正态分布随机变量，期望为，方差为1。
%3D%5Cfrac%7Bp_%7Bs%7D(1)%20f_%7BY%20%5Cmid%20S%7D(y%20%5Cmid%201)%7D%7Bf_%7BY%7D(y)%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-(y-1)%5E%7B2%7D%20%2F%202%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-(y-1)%5E%7B2%7D%20%2F%202%7D%2B%5Cfrac%7B1-p%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-(y%2B1)%5E%7B2%7D%20%2F%202%7D%7D)
化简得:
%20%3D%20%5Cfrac%7Bpe%5Ey%7D%7Bpe%5Ey%2B(1-p)e%5E%7B-y%7D%7D)
