7.1 过拟合的问题

到现在为止，我们已经学习了几种不同的学习算法，包括线性回归和逻辑回归，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应用到某些特定的机器学习应用时，会遇到 过拟合(over-fitting) 的问题，可能会导致它们效果很差。

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什么是过拟合？

线性回归模型

• 第一个模型是一个线性模型，欠拟合，不能很好地适应我们的训练集；
• 第二个模型似乎最合适。
• 第三个模型是一个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据。是过拟合。

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逻辑回归-分类问题

分类问题中也存在这样的问题。
就以多项式理解， 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。

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发现了过拟合问题，应该如何处理?

• 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。
• 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude）。

7.2 代价函数

这里主要讲解正则化的基本方法。

过拟合模型

从可以看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。 所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数 的值，这就是正则化的基本方法。

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      要减少 和 的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中 和 设置一点惩罚。这样当我们在尝试最小化 的代价时，也需要将这个惩罚纳入考虑中，从而最终选择较小一些的 和 。
例如代价函数修改为：
                  ,
      通过这样的代价函数选择出的和 对预测结果的影响就比之前要小许多。

      假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：
                  
                  其中又称为正则化参数（Regularization Parameter）。
注：根据惯例，我们不对 进行惩罚。

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image.png

• 如果选择的正则化参数 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 ，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。
  PS: 因为 的值太大了，那么（不包括）都会趋近于0，这样我们所得到的只能是一条平行于轴的直线。

7.3 正则化线性回归

对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。

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正则化线性回归的代价函数为：
               

如果我们要使用梯度下降法令代价函数最小化，因为我们未对进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：

       {
             

             

             
       }

对上面的算法中 时的更新式子进行调整可得：
      

可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令值减少了一个额外的值。

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我们同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型，方法如下所示：

正规方程

图中的矩阵尺寸为 。

7.4 正则化的逻辑回归模型

逻辑回归-分类模型

给代价函数增加一个正则化的表达式，得到代价函数：

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Python代码：

import numpy as np

def costReg(theta, X, y, learningRate):
   theta = np.matrix(theta)
   X = np.matrix(X)
   y = np.matrix(y)
   first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X*theta.T)))
   second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X*theta.T)))
   reg = (learningRate / (2 * len(X))* np.sum(np.power(theta[:,1:theta.shape[1]],2))
   return np.sum(first - second) / (len(X)) + reg

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要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：
       {

             

             

             
       }

注意：

• 虽然正则化的逻辑回归中的梯度下降和正则化的线性回归中的表达式看起来一样，但由于两者的不同所以还是有很大差别。
• 不参与其中的任何一个正则化。