DAY10共2题：
月月给华华出题
华华给月月出题
难度较大。
🎈 作者：Eriktse
🎈 简介：211计算机在读，现役ACM银牌选手🏆力争以通俗易懂的方式讲解算法！❤️欢迎关注我，一起交流C++/Python算法。（优质好文持续更新中……）🚀
🎈 原文链接（阅读原文获得更好阅读体验）：https://www.eriktse.com/algorithm/1104.html
在做今天这两道题之前，强烈建议先看这篇文章《【ACM数论】和式变换技术，也许是最好的讲解之一》。
月月给华华出题
题目传送门：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23048
当N = n时，我们可以得到以下式子：
根据我们的经验，在gcd不方便确定的情况下，可以新增枚举变量，即新增一个d变量来枚举gcd(i, n)，如下：
接下来令i = id，得到下面的式子：
不妨将n/d直接变为d，这个对结果是没有影响的，因为枚举的都是n的因子罢了。
后面这一坨的结果是：
简单证明：我们知道
gcd(i, n) = gcd(n - i, n)，所以和n的gcd相等的数总是对称出现的，因此若gcd(i, n) = 1，则必然有gcd(n - i, i) = 1，也就是说和n互质的所有数的平均值为n/2，将平均值乘上个数phi[n]即为“与n互质的所有正整数之和”。
注意当n=1时，应当特殊处理，因为此时n - 1 = 1会产生计数缺失。
而对于n > 1的情况，如果要满足n - i = i则n为偶数，而此时n / 2必然不与n互质，所以计数是准确的。
于是最终结果为：
用欧拉筛筛出phi（欧拉函数），然后枚举d，向d的所有倍数加上贡献即可。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 9;
int phi[N], ans[N];
//phi[n] = n * ((p1 - 1) / p1) * ((p2 - 1) / p2) * ... * ((pk - 1) / pk),其中p为不同的质数
void init(int n)
{
bitset<N> vis;
vector<int> prim;
//初始化vis[1]和phi[1]
vis[1] = true, phi[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n; ++ i)
{
//当i没被筛掉，说明是一个质数，加入prim数组中并设置phi[i] = i - 1
if(!vis[i])prim.push_back(i), phi[i] = i - 1;
//下面这个循环在更新i * prim[j]的一些属性
for(int j = 0;j < prim.size() && i * prim[j] <= n; ++ j)
{
vis[i * prim[j]] = true;//乘上了一个质数，那么i * prim[j]肯定不是质数了
if(i % prim[j] == 0)
{
//此时i里面已经包含prim[j]，说明i * prim[j]没有出现新的质因子
phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j];
break;
}
phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
}
}
}
signed main()
{
int n;scanf("%lld", &n);
init(n);
for(int i = 2;i <= n; ++ i)//枚举所有d = i
{
for(int j = 1;i * j <= n; ++ j)//枚举所有d的倍数 i * j
{
ans[i * j] += i * phi[i] / 2;
}
}
//这里答案 + 1是加上当d = 1时的结果
for(int i = 1;i <= n; ++ i)printf("%lld\n", 1 + ans[i]);
return 0;
}
华华给月月出题
题目传送门：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23047
这题的式子不用推，重点在于如何快速求到:
如果用快速幂的话，总复杂度达到了O(nlogn)，这道题的n <= 1.3e7，卡着不让直接用快速幂。
我们思考一个问题，如果将一个数字a质因数分解，我们可以不可以利用其质因子的n次方来求得a的n次方呢？
如果你知道i^n是一个积性函数，这一段就可以跳过了。
假设a由m种质数相乘得到：
那么有：
把n放进去：
然后做一点点变化:
也就是说我们的a^n可以通过p1^n, p2^n...转移过来。
接下来写个筛法即可。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1.3e7 + 9, p = 1e9 + 7;
int a[N];
int qmi(int a, int b)
{
int res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)res = res * a % p;
a = a * a % p, b >>= 1;
}
return res;
}
void init(int n)
{
bitset<N> vis;
vector<int> prim;
vis[1] = 1, a[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n; ++ i)
{
//当i没被筛掉，说明是一个质数
if(!vis[i])prim.push_back(i), a[i] = qmi(i, n);
//下面这个循环在更新i * prim[j]的一些属性
for(int j = 0;j < prim.size() && i * prim[j] <= n; ++ j)
{
vis[i * prim[j]] = true;//乘上了一个质数，那么i * prim[j]肯定不是质数了
//新增一个质因子prim[j]，那么只需乘上prim[j]^n即可
a[i * prim[j]] = a[i] * a[prim[j]] % p;//不要忘记取模
//i^n筛法无需分类
if(i % prim[j] == 0)break;
}
}
}
signed main()
{
int n;scanf("%lld", &n);
init(n);
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)ans ^= a[i];
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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