在某点的切线与过某点的切线是不一样的

问题：已知曲线y=x^{3}
（1）求曲线在点A（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点A（1，1）的切线方程.
解：
y^{\prime}=3 x^{2}
（1）点A（1，1）是切点，k_切=3 \times 1^{2}=3，\therefore切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3 x-2。
（2）设切点为P\left(x_{0}, x_{0}^{3}\right)，则k_切=3 \times x_0^{2}=3
\therefore切线方程为y-x_{0}^{3}=3 x_{0}^{2}\left(x-x_{0}\right)----①
由①过点A(1,1)得1-x_{0}^{3}=3 x_{0}^{2}\left(1-x_{0}\right)
\Leftrightarrow 2 x_{0}^{3}-3 x_{0}^{2}+1=0 \Leftrightarrow x_{0}=1, x_{0}=-\frac{1}{2}
把x_{0}代入①得所求切线的方程为y=3 x-2或y=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}。

评注：求曲线的切线方程要注意区分“在点A处的切线”与“过点A的切线”是不同的，其关键是判别点A是否必为切点。


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