在某点的切线与过某点的切线是不一样的

问题：已知曲线 $y=x^{3}$
（1）求曲线在点A（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点A（1，1）的切线方程.
解：
$y^{\prime}=3 x^{2}$
（1）点A（1，1）是切点， $k_切=3 \times 1^{2}=3$ ， $\therefore$ 切线方程为 $y-1=3(x-1)$ ，即 $y=3 x-2$ 。
（2）设切点为 $P\left(x_{0}, x_{0}^{3}\right)$ ，则 $k_切=3 \times x_0^{2}=3$
$\therefore$ 切线方程为 $y-x_{0}^{3}=3 x_{0}^{2}\left(x-x_{0}\right)$ ----①
由①过点A(1,1)得 $1-x_{0}^{3}=3 x_{0}^{2}\left(1-x_{0}\right)$
$\Leftrightarrow 2 x_{0}^{3}-3 x_{0}^{2}+1=0 \Leftrightarrow x_{0}=1, x_{0}=-\frac{1}{2}$
把 $x_{0}$ 代入①得所求切线的方程为 $y=3 x-2$ 或 $y=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$ 。

评注：求曲线的切线方程要注意区分“在点A处的切线”与“过点A的切线”是不同的，其关键是判别点A是否必为切点。

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