隐马尔科夫模型 HMM 通常用于处理时间序列数据，数据包含长度一样的隐藏状态和观测序列，可以通过观测数据预测出隐藏状态。例如在分词时，观测序列是 ”我喜欢计算机“，其中每个字对应的隐藏状态是 ”SBEBME“。HMM 也可以用于语音识别，给定一段音频 (观测序列)，识别出里面的每个文字 (隐藏状态)。

1. 马尔科夫模型

假设系统拥有不同的状态，每个时刻状态都会发生变化，我们可以用马尔科夫模型总结出系统状态变化的规律。以天气变化为例，现在有三种天气 {晴天，雨天，多云}，和很多天的天气状态序列 D1, D2, D3,..., DM。则我们可以根据前 n 天的天气，预测第 M+1 个天气状态的概率。

马尔科夫模型

这也称为 n 阶马尔科夫模型，即当前状态仅依赖于前面 n 个状态，通常比较常用的是一阶马尔科夫模型，即当前预测的状态仅依赖于前一时刻的状态。

一阶马尔科夫模型可以定义一个状态转移矩阵 T，T 的行数和列数均等于状态个数，T 描述了从一个状态转移到另一个状态的概率，如下图所示。

一阶马尔科夫模型状态转移矩阵

即如果今天是雨天，则明天是晴天的概率是 0.3。除了状态转移矩阵，还需要定义一个初始概率向量 I，表示第一天时，每种天气状态的概率。初始概率向量如下：

初始概率向量

总的来说，定义一个一阶马尔科夫模型需要：

• 状态：晴天、雨天、多云
• 状态转移矩阵 T
• 初始概率向量 I

马尔科夫模型还有一个性质，不管今天的天气如何，在很多天之后的状态分布会收敛到一个固定的概率分布，称为稳态分布。例如第一天是晴天，给定的 T 如上文所示，则很多天 (n天) 之后的概率分布 p 为：

n 天后的概率分布

这是因为 T 自乘无穷次之后，每一行的数值都是一样的，因此不管第一天天气如何，无穷天后的概率分布都是稳定的。

稳态分布

2. 隐马尔科夫模型

2.1 HMM

有的时候我们只能看到观察的序列，而不能直接看到隐藏的状态，此时就需要使用隐马尔科夫模型。例如有一个被关在一个密闭的房间里，没办法查看到天气，但是可以通过一个湿度计查看湿度。

由于湿度 (观察状态) 和天气 (隐藏状态) 之间存在联系，HMM 可以根据给出的观测状态序列，估计出对应的隐藏状态序列，同时可以对未来的隐藏状态和观察状态进行预测。

隐马尔科夫模型还需要增加一个发射概率矩阵 E，E 的行数等于隐藏状态个数，列数为观察状态个数，Eij 表示隐藏状态为 i 时，观察状态为 j 的概率。

发射概率矩阵

总的来说，定义一个一阶隐马尔科夫模型以下参数，这些就是 HMM 的参数：

• 隐藏状态 S：晴天、雨天、多云
• 观察状态 O：干燥、适中、潮湿
• 状态转移矩阵 T
• 初始概率向量 I
• 发射概率矩阵 E

2.2 隐马尔科夫模型的三个问题

隐马尔科夫模型比较常见的三个问题分别是：评估问题，解码问题和学习问题。

评估问题：我们已经知道模型的参数 (S, O, T, I, E)，给定一个观测序列 X (例如 干燥、干燥、潮湿、....、适中)，评估问题要计算出得到这样一个观测序列 X 的概率值。求解评估问题的方法有前向算法和后向算法。

解码问题：已经知道模型的参数 (S, O, T, I, E)，给定一个观测序列 X，找出使观测序列概率最大的隐藏状态序列 Y。求解的方法有 Viterbi 算法。

学习问题：学习问题是指在未知模型参数的时候，通过数据集学习出模型的参数 (S, O, T, I, E)。学习问题包监督学习方法和非监督学习方法，如果我们同时拥有观察序列 X 和状态序列 Y，则可以采用监督学习；如果只有观测序列 X，则只能采用非监督学习，非监督学习的算法有 Baum-Welch 算法。

3. HMM 中文分词

HMM 可以用于中文分词的任务，其隐藏状态包含 4 种，分别是 SBME，S 表示单个字的词，而 B 表示多字词的第一个字，M 表示多字词中间的字，E 表示多字词最后一个字，如下图所示。

中文分词

用 HMM 进行中文分词，要通过观察序列找出最有可能的隐藏状态序列，主要涉及学习问题和解码问题。

3.1 中文分词学习问题

可以使用已经标注好的数据 (即有观察序列 X 和隐藏状态序列 Y) 的数据集进行有监督学习。数据集包含很多句子，每个句子都有 X 和 Y。那么我们就可以通过统计得到 HMM 的状态转移矩阵、发射矩阵和初始概率向量。

状态转移矩阵 T：Tij 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率，需要统计数据集里面从状态 i 转移到 状态 j 的个数 Aij，然后除以状态 i 转移到所有状态的个数 Ai。

状态转移矩阵

例如我们可以用下面的公式计算从状态 B 转到状态 E 的概率：

从状态 B 转到状态 E 的概率

中文分词的时候是不存在从状态 B 到状态 B 的，也不存在 B 到 S，所以 Count(BB) 和 Count(BS) 都是 0。

发射概率矩阵 E：Eij 表示在状态 i 时得到观察值 j 的概率。计算方法是统计状态 i 且观察值为 j 的个数 B，然后除以状态 i 的个数。

初始概率向量 I：I 只要统计每个句子第一个状态，得到第一个状态的概率分布即可。

3.2 中文分词解码问题

在学习得到 HMM 的参数后，可以通过 HMM 解码算法 (Viterbi 算法) 求解出句子的隐状态，最终分词。具体做法可以参考《统计学习方法》。

4.参考文献

《统计学习方法》