[初中数学】二次函数基础

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

二次函数基础

$y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$

表达式

三种表现形式
其中 $a \neq 0$

一般式: $y = ax^2 + bx + c$
顶点式: $y = a(x-h)^2 + k$
分解式: $y = a(x-x_1)(x-x_2)$

三种形式优点
一般式: 知道y轴交点
顶点式: 知道对称轴与顶点
分解式: 知道x轴两个交点

配方法

一般式使用配方法变换成顶点式
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \\ & = a(x^2 + \frac {b} {a}x) + c \\ & = a(x^2 + 2 \frac {b} {2a}x + \frac {b^2} {4a^2}) + c - \frac {b^2} {4a} \\ & = a(x + \frac {b} {2a})^2 + \frac {4ac - b^2} {4a} \\ & (h=-\frac{b} {2a }, k = \frac {4ac - b^2} {4a})\\ & = a(x - h )^2 + k \\ \end{align}$

所以
对称轴： $x = - \frac {b} {2a}$
顶点： $( - \frac {b} {2a}, \frac {4ac - b ^2} {4a})$

a、b、c作用

a

决定开口大小和方向
a > 0 开口向上
a < 0 开口向下
a的绝对值越大，开口越小（二次函数变化速度越快）

b

a和b共同决定抛物线对称轴的位置

c

决定与y轴的交点。(通俗的来讲，就是决定上下)

一般式交点

与y轴的交点

$x = 0$ 时
$y = ax^2 + bx + c = 0 + 0 + c = c$
所以与y轴的交点是(0, c)

与x轴的交点

$y=0$ 时
$\begin{align} 0 & = ax^2 + bx + c \\ 0 & = a(x^2 + \frac {b} {a}x) + c \\ 0 & = a(x^2 + 2 \frac {b} {2a}x + \frac {b^2} {4a^2}) + c - \frac {b^2} {4a} \\ a(x + \frac {b} {2a})^2 & = \frac {b^2 - 4ac} {4a} \\ (x + \frac {b} {2a})^2 & = \frac {b^2 - 4ac} {4a^2} \\ 当b^2 - 4ac >=0 时&，有\\ x + \frac {b} {2a} & = \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} \\ x & = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} \\ \end{align}$

故当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时
二次函数和x轴有两个交点，分别为
$(\frac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}, 0)$ 、 $(\frac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}, 0)$

故当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ 时
二次函数和x轴有一个交点，为
$(\frac {-b} {2a}, 0)$

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二次函数 基础

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配方法