机器学习必备的数学知识

一、函数

1、函数的基本定义

世界是变化的，万物是有联系的。函数就是用来表征各个具有内在联系的量的变化规律。例如年龄和身高的变化规律，饭量与身高、体重、年龄的变化规律。

（1）函数定义

此处我们给出函数的定义：

函数定义.png

其中，集合A中的元素称为自变量，集合B中的元素称为因变量。
函数则表示了非空集合之间的映射，如下图所示：

映射.png

（2）一一映射

集合A中的每一个元素都能在B中找到唯一的元素与之对应，且集合B中的元素也能在A中找到唯一的原像，那么集合A和B就形成了一一映射的关系。
例如：

平方关系.png

就不满足一一映射的关系，因为1个y能够找到2个x（正解和负解）。

而

线性.png

就满足一一映射的关系，1个x对应1个y，反过来1个y也对应1个x。
满足一一映射的函数存在反函数。

（3）函数的表示方法

有三种方法，分别是“列表法”、“图形法”、“解析式”法。

1）列表法

函数列表法.png

优点是非常简单方便实用，尤其是对于特别复杂但用的频率很高的情况，比如统计学中的各种分布，t分布，F分布。如果函数解析式非常复杂，难以计算，通常采用查表获得函数值。

2）图形法

图形法.png

3）解析式法

这是最常用的一种方法，表达能力最强，最精确。解析式包含了函数的一切信息，例如：

解析式举例.png

（4）函数定义域和值域

1）定义域

定义域就是自变量的取值范围。

定义域举例.png

2）值域

值域就是函数值的与之范围。

值域举例.png

注意：定义域确定后，根据映射关系，值域随之确定。

（5）函数单调性

1）单调递增

自变量在一定范围时，函数值岁自变量增大而增大，称函数在此区间内单调递增。

2）单调递减

自变量在一定范围时，函数值岁自变量增大而减小，称函数在此区间内单调递减。
即：

函数的单调性.png

单调性举例.png

注意：对于复杂函数，在学习导数之前，判断单调性是很困难的。

（6）函数奇偶性

1）奇函数

定义域内的任何变量，都满足f(-x)=-f(x)。
奇函数的图像关于原点对称，定义域必须对称。

奇函数举例.png

2）偶函数

定义域内的任何变量，都满足f(-x)=f(x)。
奇函数的图像关于y轴对称，定义域必须对称。

偶函数举例.png

注意：大量函数既不是奇函数也不是偶函数。

（7）、函数周期性

周期函数：如果T≠0，对于任意x都有f(x)=f(x+T)，则称T为该函数的函数周期。
最常见的周期函数式三角函数，如图：

周期函数举例.png

2、常用函数

（1）一次函数

·定义域：R（全体实数），值域：R
·y=ax+b,a>0时单调递增，a<0时单调递减
·a表示直线的斜率，是直线与x周夹角的正切值

例：

一次函数举例.png

（2）二次函数

二次函数.png

例：

二次函数举例.png

（3）正弦函数

正弦函数.png

正弦函数2.png

（4）余弦函数

余弦函数.png

余弦函数2.png

二、微积分

1、极限与导数

（1）极限

1)极限的定义

极限的定义：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断逼近的过程中，此变量的变化，被人们规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”称作极限。

数学表达式：当变量x无限趋近于某一个数值时，对应的函数结果：
$A = \lim_{x→x_{0}}f(x)$

2)极限的计算

①

image.png

y = \lim_{x→∞} {x^3+2x^2+1\over 2x^3+3x+2 } \\ y = \lim_{x→∞} {1+{2\over x}+{1\over x^3}\over 2+{3\over x^2}+{2\over x^3} } \\ y = {1+0+0\over 2+0+0 } = {1 \over 2}

②

image.png

y = \lim_{x→1}{x-1 \over 2x^2-x-1} \\ y = \lim_{x→1}{x-1 \over (2x+1)(x-1)} \\ y = \lim_{x→1}{1 \over 2x+1} \\ y = {1 \over 2+1} = {1 \over 3}

（2）导数

1)导数的定义

导数的定义：当函数y = f(x)的自变量x在一点x₀上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋近于0时的极限如果存在，a即为在x₀处的导数，记作 $f'(x_{0})$ 或 ${d f(x_{0}) \over d x_{0}}$ 。

image.png

f'(x_{0}) = {d f(x_{0}) \over d x_{0}} = \lim_{Δx→0}{Δy \over Δx}

对于线性函数来说，函数在x₀的导数等于x₀对应的斜率。
对于非线性函数来说，函数在x₀的导数等于x₀对应的切线的斜率。

2)导数的计算

常用导数公式：

图片.png

image.png

3)导数的意义

如果y = f(x)在x=x₀的导数f'(x₀) = 0，则x₀为该函数的一个极值点。

2、模型求解与梯度下降法

（1）什么是梯度下降法

梯度下降法是寻找极小值的一种方法。通过向函数上当前点对应梯度（导数）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索，直到在极小点收敛。
求 $J = f(p)$ 的极小值
↓
$p_{i+1} = p_{i} - α{ ∂ \over ∂p_{i}}f(p_{i})$

其中 ${ ∂ \over ∂p_{i}}f(p_{i})$ 和 ${d f(x_{0}) \over d x_{0}}$ 类似，也是求导，只不过是求偏导数，∂是偏导数的意思。α就是变量p方向上的规定步长，负号代表反方向。这一次求出来的p_i+1会作为下一次的p_i迭代到上述公式中继续求p_i+1。

（2）梯度下降法求极小值

求极小值过程.png

梯度下降法示例.gif

（3）实际问题求解

微信截图_20221026132958.png

本质上就是求解线性模型中最合适的a和b。

不同的a和b.png

如何找到最合适的a和b呢？
假设x为自变量，y为真实客观的对应结果（就是我们想求的），y'为我们的模型输出的结果，我们要让y’尽可能接近y，即y'无限趋近于y，用数学的表达就是y'-y的极小值：

minimise \{ \displaystyle \sum_{i=1}^m (y'_{i} - y_{i})^2 \} \\

其中，minimise是指求最小值，m是样本数，即已知的x和y的关系的数量。

损失函数：
为了方便计算，我们将上述数学表达式求导后的常量2和m约分掉，所以将其变换为损失函数J，即：
$J = minimise \{ {1\over 2m } \displaystyle \sum_{i=1}^m (y'_{i} - y_{i})^2 \} \\$

于是，算式演变为：

算式演变.png

因为样本的x_i和y_i都是已知的，所以就变成了求未知数a和b。

计算机计算方式.png

求解直观图.gif

3、积分

（1）积分的定义

1）不定积分

函数f的不定积分，是一个可导函数F且其导数等于原来的函数f，即F' = f。
例如函数 $f(x) = 2x$ ，它的不定积分有：
$F(x) = x^2 \\ F(x) = x^2 + 3 \\ F(x) = x^2 - 10$
函数的不定积分可以理解为其对应的反导数，有无穷多个。

2）定积分

①定积分的定义

对于一个给定了的正实数值函数f(x),在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上由曲线、直线及坐标轴围成的曲边梯形的面积值。

定积分.png

定积分解析式.png

②定积分计算实例

image.png

计算函数y = 2x在区间[-5, 0] 及(0, 5]的定积分。
∵f(x)' = 2x
∴f(x) = x² + C
y = 2x在区间[-5, 0] 及(0, 5]的定积分就等于：
f(0) - f(-5)及f(5) - f(0)
f(0) - f(-5) = 0² - (-5)² = -25
f(5) - f(0) = 5² - 0² = 25

③定积分的应用

image.png

④常用积分公式

image.png

4、python函数实现微分和积分

参考链接：
Python sympy 求解微积分： https://blog.csdn.net/dfly_zx/article/details/106605143

Python sympy 包介绍：
https://www.sympy.org/en/index.html

（1）实战任务

image.png

1）任务1

①求f1

image.png

②求f2

image.png

③求f3

image.png

2）任务2

①求F1

image.png

②求F2

image.png

②求F3

image.png

3）任务3：求y1,y2,y3在x=0时的极限

image.png

三、矩阵

1、什么是矩阵

（1）矩阵的定义

矩阵式由m乘以n个数a_ij(i=1,2,......,m;j=1,2,......,n)排成的m行n列的数表。
例如：
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ...... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ...... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ...... & a_{mn} \end{matrix}$
我们就表示为
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ...... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ...... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ...... & a_{mn} \end{bmatrix}$

在日常生活中我们也会遇到矩阵，比如excel表，或者人员方阵：

图片.png

（2）同型矩阵

行数、列数分别相同的一组矩阵。
例如：
$A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix}$

$B= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

$C= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

$D= \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 9 \end{bmatrix}$

$E= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

$F= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
这6个矩阵中，B和C，E和F分别是同行矩阵。

（3）负矩阵

矩阵元素互为相反数关系的矩阵。
若矩阵
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ...... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ...... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ...... & a_{mn} \end{bmatrix}$ ，

矩阵
$B= \begin{bmatrix} -a_{11} & -a_{12} & ...... & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & ...... & -a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ -a_{m1} & -a_{m2} & ...... & -a_{mn} \end{bmatrix}$ ，
则A和B互为负矩阵。
记为 $A = -B$ 。
注：负矩阵一定是同型矩阵。

2、矩阵的运算

（1）矩阵的加减法

注意：只有同型矩阵之间才能做加减法。
矩阵的元素分别相加。
若矩阵
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ...... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ...... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ...... & a_{mn} \end{bmatrix}$ ，

矩阵
$B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ...... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ...... & b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{m1} & b_{m2} & ...... & b_{mn} \end{bmatrix}$ ，
则 $A+B=\begin{bmatrix} a_{11} +b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...... & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ...... & a_{2n}+b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ...... & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$

例如：
$A= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
则 $A+B = \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 13 & 6 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ 。

矩阵的加法满足交换律和结合律，即：
$A+B=B+A$ ，
$A+B+C=A+(B+C)$ 。
矩阵的减法和加法相同，即：
$A-B=A+(-B)$ 。

（2）矩阵的乘法

1）数乘

即数与矩阵的元素分别相乘。
例如：
$3 \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 7 & 1 & 5 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 6 \\ 21 & 3 & 15 \\ 0 & 12 & 6 \\ 9 & 3 & 6 \end{bmatrix}$
矩阵的数乘满足交换律、结合律和分配律，即：
$\lambda \cdot A = A \cdot \lambda$ ,
$\lambda \cdot A \cdot \mu = \lambda \cdot (A \cdot \mu)$ ,
$\lambda \cdot (A+B) = \lambda \cdot A + \lambda \cdot B$ 。

2）矩阵与矩阵相乘

行列元素依次相乘并求和，且第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，即：
$C = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} +a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} +a_{33}b_{32} \\ a_{41}b_{11} + a_{42}b_{21} + a_{43}b_{31} & a_{41}b_{12} + a_{42}b_{22} + a_{43}b_{32} \end{bmatrix}$
矩阵和矩阵相乘，不满足交换律，但满足结合律和分配律，即：
$AB \neq BA$ ,
$(AB)C = A(BC)$ ,
$A(B + C) = AB + AC$ 。

3、向量

（1）向量的定义

只有一行的矩阵，即：
$A= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & …… a_{n} \end{bmatrix}$ ，
称为行矩阵，也称为行向量。

只有一列的矩阵，即：
$B= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}$ ，
称为列矩阵，也称为列向量。

其中，B为A的转置，即 $B = A^T$ 。

（2）向量的基本运算

遵循矩阵几百年运算原则
矩阵与向量相乘，结果仍为向量

（3）向量的应用

1）问题抛出

举例，房价预测问题：加入你想买一套110㎡的房子，房东售价150万，值得投资吗？

房价趋势

线性关系

Tips：根据线性关系表算出售价y，然后和房东的出价进行对比。

2）实际应用

①根据房屋面积、房间数、区域人口密度、房龄等因子，预测合理售价。

已有数据

解决思路：
建立价格与因子之间的关系： $y = f(x_{1}, x_{2}, x_{3} \dots x_{n})$
$\begin{cases} y_{1} = f(x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}) \\ y_{2} = f(x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}, x_{25}) \\y_{3} = f(x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}, x_{35}) \\y_{4} = f(x_{41}, x_{42}, x_{43}, x_{44}, x_{45}) \\y_{5} = f(x_{51}, x_{52}, x_{53}, x_{54}, x_{55}) \\ \end{cases}$
so:
$y_{m} = f(x_{m1}, x_{m2}, x_{m3}, x_{m4}, x_{m5})$
假设：每个因子与价格之间存在线性关系，即：
$y = f(x_{1}, x_{2}, x_{3} \dots x_{n}) = θ_{1}x_{1} + θ_{2}x_{2} + \dots +θ_{n}x_{n} + b$
那么：
$\begin{cases} y_{1} = f(x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}) \\ y_{2} = f(x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}, x_{25}) \\y_{3} = f(x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}, x_{35}) \\y_{4} = f(x_{41}, x_{42}, x_{43}, x_{44}, x_{45}) \\y_{5} = f(x_{51}, x_{52}, x_{53}, x_{54}, x_{55}) \\ \end{cases}$
$y= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & x_{25} \\ \vdots \\x_{51} & x_{52} & x_{53} & x_{54} & x_{55} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} θ_{1} \\ θ_{2} \\ θ_{3} \\ θ_{4} \\ θ_{5}\end{bmatrix} + b$
抽象来说， $y = Xθ + b$ 。
管不θ和b的求解，就需要用到计算机程序来计算了。

②深度学习：根据用户基本信息，预测用户是否会购课消费

用户信息图

像这类问题，就是深度学习中的神经网络结构的模型问题。什么是神经网络结构系统？

神经网络概念图

↓↓↓ 抽象为

神经网络抽象逻辑

注意：这里的a₁²...a_n²并不是平方的意思，而是上角标。
以上图画用数学表达式展示就是：

\begin{cases} a_{1}^2 = Xθ_{1}^1 \\ \vdots \\a_{n}^2 = Xθ_{n}^1 \end{cases} \\ y = Aθ^2

其中，X就是

\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n}\end{bmatrix}

的向量，A就是

\begin{bmatrix} a_{1}^2 \\ a_{2}^2 \\ a_{3}^2 \\ \vdots \\ a_{n}^2\end{bmatrix}

的向量，我们先得到A，然后再由A得到y。

4、实战：python实现矩阵运算

image.png

（1）基础

安装python、Anaconda、Jupyter-notebook，这些功能详情见我的《python和相关工具介绍》。
安装matplotlib库，这个库是python的一个基础绘图库，几行代码即可生成绘图，比如直方图、条形图、散点图等。

（2）矩阵赋值

首先我们引入numpy包：import numpy as np
然后给矩阵A赋值：A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
然后我们打印A：print(A)
则展示结果：

image.png

查看A的行数和列数：print(A.shape)

image.png

完成其他矩阵的赋值：

image.png

（3）矩阵计算

计算E：

image.png

计算F：

image.png

计算G = A·B：

image.png

计算H = -A：

image.png

计算I = A·D：

image.png

我们再计算一个J = A·C：

image.png

三、概率

1、概率与机器学习

（1）概率的定义

概率是在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量，反应某种情况出现的可能性（likelihood）的大小。

（2）机器学习中的概率

分类任务中，机器学习模型直接预测的结果是某种情况的概率。
例如：

猫狗二分类模型

金融预测中，操作建议基于对应股票的涨跌的概率。

image.png

2、条件概率与全概率

（1）条件概率的定义

定义：事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，表示为P(B|A)。
$P(B|A) = { P(AB) \over P(A) } \\$

（2）全概率公式

问题引出：

image.png

解： ∵

P(B|A) = { P(AB) \over P(A) } \\

∴

P(A|B_{1}) = {P(B_{1}A) \over P(B_{1})} = {1 \over 4} \\ P(B_{1}A) = P(A|B_{1})P(B_{1}) = { 1 \over 4 } ×{ 1 \over 3 } = { 1 \over 12}

P(A|B_{2}) = { P(B_{2}A) \over P(B_{2})} = {1 \over 5} \\ P(B_{2}A) = P(A|B_{2})P(B_{2}) = { 1 \over 5 } × { 2 \over 3 } = { 2 \over 15}

P(A) = P(B_{1}A) +P(B_{2}A) = { 13 \over 60 } \\

全概率定义：将复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和。
公式为：

全概率计算公式

image.png

3、贝叶斯公式与朴素贝叶斯

（1）贝叶斯公式

贝叶斯公式

注意： $P(AB) = P(BA)$ 但是 $P(B|A) ≠ P(A|B)$ 。因为A和B发生的顺序会不同

贝叶斯公式延申

贝叶斯公式定义

其中，后验概率指的就是 $P(B_{i}|A)$ 。
延申公式中的分子

P(B_{i}) × P(A|B_{i}) 就等于P(AB_{i}) 或者 P(B_{i}A)

，分母

Σ_{j=1}^nP(A|B_{j})P(B_{j})

就是

P(A)

，最终这个式子就转化为了

P(B_{i}|A) = { P(AB_{i}) \over P(A)}

。
究其原因，就是 $P(AB)$ 或者 $P(BA)$ 是相等的，他俩同时发生的概率不考虑先后顺序，所以除以 $P(A)$ 就是先发生A之后再发生B的概率，除以 $P(B)$ 就是先发生B后再发生A的概率。

核心

（2）朴素贝叶斯

朴素贝叶斯公式

4、实战：朴素贝叶斯判断客户消费意愿

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文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
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一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
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情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,371评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
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