第一章 概率论的基本概念
有一类现象，在一定条件下必然发生，这类现象称为确定性现象。在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，就是统计规律性。在个别试验中起结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。
1.随机试验
(1)可以在相同的条件下重复的进行
(2)每次试验的可能结果不止一个， 并且能事先明确试验的所有可能结果
(3)进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验
2.样本空间、随机事件
（一）样本空间
我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
（二）随机事件
一般,我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。
在每次试验中，当且仅当这一子集的一个样本点出现时，称这一事件发生。
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。
空集∅不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，∅称为不可能事件。
（三）事件间的关系与事件的运算
（1）若A∈B,则称事件B包含事件A，这指的是时间A发生必然导致事件B发生。
若A∈B且B∈A，即A=B,则称事件A与事件B相等。
（2）时间AUB={x|x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
（3）事件A∩B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
（4）事件A-B={x|x∈A且x∉B}称为事件A与事件B的差事件
（5）若A∪B=∅，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。
（6）若AUB=S且A∪B=∅,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。
在进行事件运算时，经常要用到下述定律，设A,B,C为时间，则有
交换律：AUB=BUA,A∩B=B∩A
结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,AU(BUC)=(AUB)UC
分配率：AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC),A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
德摩根律：（AUB)逆=A逆∩B逆，(A∩B)逆=A逆 U B逆
3.频率与概率
(一)频率
定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数。
比值 频数/n 称为事件A发生的频率。
（二）概率
定义 设E是随机试验，S是它的样本空间。
对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，
集合函数P(*)满足下列条件：
1.非负性：对于每一个事件A，有P（A）>=0
2.规范性：对于必然事件S，有P（S）= 1
3.可列可加性：设A1,A2,...是两两互不相容的事件，即对于AiAj=∅，i不等于j,i,j=1,2,...,有
P(A1 U A2 U ...)=P(A1)+P(A2)+...
概率的一些重要性质
性质1 P(∅) = 0
性质2 （有限可加性）若A1,A2,...,An是两两互不相容的事件，则有
P(A1UA2U...UAn) = P(A1)+P(A2)+...+P(An)
性质3 设A,B是两个事件，若A∈B，则有
P(B-A) = P(B)-P(A)
P(B)>=P(A)
性质4 对于任一事件A，P(A)<=1
性质5 （逆事件的概率）对于任一事件A，有
P(A逆) = 1-P(A)
性质6 （加法公式）对于任一两事件A,B有
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB)
4.等可能概型（古典概型）
1.试验的样本空间只包含有限个元素
2.试验中每个基本事件的可能性相等
具有以上两个特点的试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型。
它在概率论初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。
等可能概型中时间A的概率计算公式
P(A) = A包含的基本事件数/S中基本事件的总数
实际推断原理
概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的
5.条件概率
定义 设A,B是两个事件，且P（A）>0,称P(B|A)=P(AB)/P(A)
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
乘法定理
P(AB)=P(B|A)P(A)
P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)
P(A1A2...An)=P(An|A1A2...An-1)P(An-1|A1A2...An-2)...P(A2|A1)P(A1)
全概率公式和贝叶斯公式
定义 设是为试验E的样本空间，B1,B2,...,Bn为E的一组事件。若
（1）BiBj=∅，I≠j,i,j=1,2,...,n;
（2）B1UB2U...UBn=S,
则称B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分
定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则
P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn).
称为全概率公式
定理 设试验E的样本空间为S。A为E的事件，B1,B2,...Bn为S的一个划分，且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)/(P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn))
当n=2时，并将B1记为B,此时B2记为B逆，那么全概率公式和贝叶斯公式分别成为
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B逆)P(B逆)
P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A|B)P(B)/(P(A|B)P(B)+P(AB逆)P(B逆))
这两个公式是常用的。
6.独立性
定义 设A,B是两事件，如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A,B相互独立，简称A,B独立
定理一 设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B).反之亦然.
定理二 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
A与B逆，A逆与B，A逆与B逆
第二章 随机变量及其分布
1.随机变量
定义 设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量
随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。
这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差别。
2.离散型随机变量及其分布律
有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量X的分布律，可以用表格的形式表示
| X | x1 | x2 | ... | xn | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| pk | p1 | p2 | ... | pn | ... |
(一)（0-1）分布
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| pk | 1-p | p |
(二)伯努利试验、二项分布
设试验E只有两个可能结果：A和A逆，则称E为伯努利试验。
设P(A) = p(0<p<1),此时P(A逆)=1-p.
将E独立重复地进行n次，则称这一串重复地独立试验为n重伯努利试验
C(nk)*p的k次方*q的（n-k）次方刚好是（p+q）的n次方的展开式的某一项，我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
特别的当n=1时，为（0-1）分布
(三)泊松分布
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3.随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)=P{X<=x},负无穷<x<正无穷
称为X的分布函数。
对于任意实数x1,x2(x1<x2),有
P(x1<X<=x2)=P(X<=x2)-P(X<=x1)
=F(x2)-F(x1),
性质1 F(x)是一个不减函数.
性质2 0<=F(x)<=1,且
F(-无穷)=0，F(无穷) = 1.
性质3 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的
4.连续型随机变量及其概率密度
如果对于随机变量X的分布函数F（x）,存在非负函数f(x),使对于任意实数x有
F（x） = ∫f(t)dt,(-无穷，x),
则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
性质1 f(x)>=0
性质2 ∫f(x)dx = 1 (-无穷，无穷)
性质3 对于任意实数x1,x2(x1<=x2)
P(x1<X<=x2)=F(x2)-F(x1) = ∫f(x)dx ,(x1,x2)
性质4 若f(x)在点x处连续，则有F(x)' = f(x)
P(a<X<=b)=P(a<=X<=b)=P(a<X<b).
(一)均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)=1/(b-a),a<x<b,
f(x)=0,其他，
则称X在区间（a,b）上服从均匀分布。记为X~U(a,b).
易知f(x)>=0,且∫f(x)dx=1,(-无穷，无穷)
P{c<X<=c+l} = ∫f(x)dx = l/(b-a),(-无穷，无穷)
(一)指数分布
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若连续型随机变量X的分布函数为
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无记忆性
P{X>s+t|X>s} = P{X>t}.
（三）正态分布
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5.随机变量的函数的分布
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第三章 多维随机变量及其分布
1.二位随机变量
一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，
由它们构成的一个向量（X,Y），叫做二维随机向量
分布函数
定义 设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：
F(x,y)=P{(X<=x)∩（Y<=y）},记成P{X<=x,Y<=y}
称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数
P(x1<X<=x2,y1<Y<=y2)
=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)
性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y,当x2>x1时，F(x2,y)>=F(x1,y);对于任意固定的x,当y2>y1时F(x,y2)>=F(x,y1).
性质2 0<=F(x,y)<=1,且
对于任意固定的y,F(-无穷，y) = 0
对于任意固定的x,F(x，-无穷) = 0
F(-无穷，-无穷) = 0,F(无穷，无穷)=1
性质3 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),即F（x,y）关于x右连续，关于y也右连续
性质4 对于任意（x1,y1）,(x2,y2),x1<x2,y1<y2,下述不等式成立：
F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)>=0
离散型随机变量
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