粒子群算法（一）：粒子群算法概述

0 前言

本系列文章主要针对粒子群算法进行介绍和运用，并给出粒子群算法的经典案例，从而进一步加深对粒子群算法的了解与运用（预计在一周内完成本系列文章）。主要包括四个部分：

粒子群算法概述
粒子群算法实现及基本应用
粒子群算法在数学建模的应用实例（一）
粒子群算法在数学建模的应用实例（二）
粒子群算法的其他经典案例（未确定）

1 概述

粒子群算法也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO），属于群体智能优化算法，是近年来发展起来的一种新的进化算法（Evolutionary Algorithm, EA）。群体智能优化算法主要模拟了昆虫、兽群、鸟群和鱼群的群集行为，这些群体按照一种合作的方式寻找食物，群体中的每个成员通过学习它自身的经验和其他成员的经验来不断地改变搜索的方向。群体智能优化算法的突出特点就是利用了种群的群体智慧进行协同搜索，从而在解空间内找到最优解。
PSO 算法和模拟退火算法相比，也是 从随机解出发，通过迭代寻找最优解。它是通过适应度来评价解的品质，但比遗传算法规则更为简单，没有遗传算法的“交叉”和“变异”，它通过追随当前搜索到的最大适应度来寻找全局最优。这种算法以其 容易实现、精度高、收敛快 等优点引起了学术界的重视，并在解决实际问题中展示了其优越性。

2 粒子群算法的基本原理

在粒子群算法中，每个优化问题的解被看作搜索空间的一只鸟，即“粒子”。算法开始时首先生成初始解，即在可行解空间中随机初始化 $m$ 粒子组成的种群 $Z=\{Z_1,Z_2,\cdots,Z_m\}$ ，其中每个粒子所处的位置 $Z_i=\{z_{i1},z_{i2},\cdots,z_{in} \}$ ，都表示问题的一个解，并依据目标函数计算搜索新解。在每次迭代时，粒子将跟踪两个“极值”来更新自己， 一个是粒子本身搜索到的最好解 $Pbest_i$ ，另一个是整个种群目前搜索到的最优解 $Gbest$ 。此外每个粒子都有一个速度 $V_i=\{v_{i1},v_{i2},\cdots,v_{in} \}$ ，当两个最优解都找到后，每个粒子根据如下迭代式更新：

速度向量迭代公式： $V_i = \omega V_i + c_1r_1(Pbest_i - Z_i)+c_2r_2(Gbest-Z_i)$
位置向量迭代公式： $X_i = X_i+V_i$

其中参数 $\omega$ 称为是 PSO 的 惯性权重(inertia weight)，它的取值介于[0,1]区间；参数 $c_1$ 和 $c_2$ 称为是 学习因子(learn factor)；而 $r_1$ 和 $r_2$ 为介于[0,1]之间的随机概率值。
实践证明没有绝对最优的参数，针对不同的问题选取合适的参数才能获得更好的收敛速度和鲁棒性，一般情况下 $c_1$ , $c_2$ 取 1.4961，而 $\omega$ 采用自适应的取值方法，即一开始令 $\omega=0.9$ ，使得 PSO 全局优化能力较强；随着迭代的深入，递减至 $\omega=0.1$ ，从而使得PSO具有较强的局部优化能力。

3 粒子群算法的基本流程

Step 1 种群初始化：可以进行随机初始化或者根据被优化的问题设计特定的初始化方法，然后计算个体的适应值，从而选择出个体的局部最优位置向量 $Pbest_i$ 和种群的全局最优位置向量 $Gbest$ 。
Step 2 迭代设置：设置迭代次数 $Tmax$ ，并令当前迭代次数 $T=1$ ；
Step 3 速度更新：更新每个个体的速度向量；
Step 4 位置更新：更新每个个体的位置向量；
Step 5 局部位置向量和全局位置向量更新：更新个体的 $Pbest_i$ 和种群的 $Gbest$ ；
Step 6 终止条件判断：判断迭代次数时都达到 $Tmax$ ，如果满足，输出 $Gbest$ ；否则继续进行迭代，跳转至Step 3。

对于粒子群优化算法的运用，主要是对速度和位置向量迭代算子的设计。迭代算子是否有效将决定整个PSO算法性能的优劣，所以如何设计PSO的迭代算子是PSO算法应用的研究重点和难点。

4 对于权重惯量的理解

参数 $\omega$ 之所以被称之为惯性权重，是因为 $\omega$ 实际反映了粒子过去的运动状态对当前行为的影响，就像是我们物理中提到的惯性。如果 $\omega<<1$ ，从前的运动状态很少能影响当前的行为，粒子的速度会很快的改变；相反， $\omega$ 较大，虽然会有很大的搜索空间，但是粒子很难改变其运动方向，很难向较优位置收敛，由于算法速度的因素，在实际运用中很少这样设置。也就是说，较高的 $\omega$ 设置促进全局搜索，较低的 $\omega$ 设置促进快速的局部搜索。

常用权重惯量选择方式有：

自适应权重法

随机权重法

线性递减权重法