ARIMA

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ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) 模型是一种用于时间序列分析模型。它实际上是自回归（Autoregressive）、积分（Integrated）和滑动平均（Moving Average）三个模型的组合。

1.自回归模型 - 描述观测数据与几个滞后观测数据（lagged observation）之间的关系。

2.积分 - 使用数据差分使时间序列变为稳态。

3.滑动平均 - 这里与滑动平均的平滑方法不同。是指描述观测数据与滞后观测数据滑动平均剩余误差的关系。

AR(p), p阶的AR模型可以表示为：

$X_t={\varphi}_{1}{X}_{t-1}+{\varphi}_{2}{X}_{t-2}+\dots+{\varphi}_{p}{X}_{t-p}+w_t=\sum_{i=1}^{p}{{\varphi}_{i}{X}_{t-i}}+w_t$

其中 $w_t$ 为当前数值误差， $X$ 表示观测数据。
MA(q), q阶的MA模型可以表示为：
$X_t=w_t+{\theta}_{1}{w}_{t-1}+{\theta}_{2}{w}_{t-2}+\dots+{\theta}_{q}{w}_{t-q}=w_t+\sum_{j=1}^{q}{{\theta}_{j}{w}_{t-j}}$

AR 使用前序观测数，而MA使用前序误差。

作为AR和MA的结合，ARMA模型可以表示为：

$X_t=w_t+\sum_{j=1}^{q}{{\theta}_{j}{w}_{t-j}}+\sum_{i=1}^{p}{\varphi}_{i}{X}_{t-i}$

如果使用d阶差分数据代替观测数据，则模型可表示为 $\mathrm{ARIMA}(p,d,q)$

ARIMA

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