【文献精读】【独家，价值极高】20分钟教你推导JFE文章中资产定价和信息传递内容，学会了快去发论文呀！

模型设定：

时期： $t=1,2,3$
资产： $\theta = \theta _1 + \theta _2$ ，归一化为零。
交易者：多名外部人员、一名内部人员和流动性交易员。
- 外部人员 $i$ 可以支付固定成本 $F$ 来获取现有资产的信息。如果这样做，会私下观察信号 $s_i = \theta_1 + \theta_2 + \eta_i$ ；如果没有，仍然不知情并且不交易。 $a$ 表示投机者的数量， $x_i$ 表示投机者 $i$ 的交易。投机者的数量是一个连续变量以避免整数问题。他们对 $\theta_1$ 的了解少于拥有完美信号的局内人
- 内部人员是公司的经理，他无成本地私下观察信号 $s_M = \theta_1$ ，并在他的个人账户上交易 $y$ 。
- 流动性交易者的需求是外生的且依赖于价格。令 $L(z, p) = z -\frac 1 \lambda p$ 表示他们的净市场订单，其中 $z$ 服从均值为零且精度为 $h_z$ 的正态分布，并且独立于所有其他随机变量。其中 λ > 0，导致需求曲线向下倾斜。
总需求： $d = \sum^a_{i=1}x_i + y + z −\frac 1 \lambda p$ ，取决于价格，允许价格由市场清算决定 $(d = 0)$ 。 $\lambda$ 越高，价格 $p$ 必须改变得越多以维持市场出清， $\lambda$ 称为价格影响。
在 $t = 2$ 时，经理以成本 $\frac 1 2 cK^2$ 将 $K$ 单位投资于增长机会，其中 $c > 0$ 。增长机会的盈利能力与 $\theta_1$ 或 $\theta_2$ （或两者）相关。他选择 $K$ 来最大化预期公司价值（现有资产，加上增长机会，减去投资成本），基于他的私人信号 $s_M$ 和从证券价格 $p$ 推断的信息 $\max_K \;\mathbb E [ \theta_1 + \theta_2 + ((1 -\omega)\theta_1+ \omega\theta_2)K -\frac 1 2 cK^2 |s_M, p]$ 其中 $\omega \in [0, 1]$ 确定增长机会与现有资产的每个组成部分之间的相关性。 $\omega$ 的增加提高了投资回报对 $\theta_2$ 的依赖性，从而提高了经理从价格中学习 $\theta_2$ 的动机。
$t = 3$ 时，所有收益都已实现。
注：
证券只是对现有资产 $\theta$ 的债权，而不是现有资产和增长机会的总和。这大大简化了模型，因为这意味着投资决策受证券价格的影响，但证券价格不依赖于投资决策。
潜在进入者做出投资决定，观察现任者的股票价格，假设其价值不受进入决定的影响。

证明

$\mathbb E[\theta|s_M] =\theta_1$
$\Sigma = \mathbb Cov[\theta,s_M]=\begin{bmatrix} 2h_\theta^{-1}& h_\theta^{-1}\\ h_\theta^{-1}&h_\theta^{-1}\\ \end{bmatrix}$ 因此 $\mathbb E[\theta|s_M] = \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}(s_M-0)=\theta_1$
$\mathbb E[\theta|s_i] =\frac {h_\eta}{h_\eta + \frac{h_\theta}{2}}s_i$
$\Sigma = \mathbb Cov[\theta,s_i]=\begin{bmatrix} 2h_\theta^{-1}& 2h_\theta^{-1}\\ 2h_\theta^{-1}&h_{s_i}^{-1}\\ \end{bmatrix}$ 其中 $h_{s_i}^{-1}=2h_\theta^{-1}+h\eta^{-1}=\frac{2h_{\eta}+h_\theta}{h_{\eta}h_\theta}$ 因此 $\mathbb E[\theta|s_i] = \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}(s_i-0)=2h_{\theta}^{-1}\frac{h_{\eta}h_\theta}{2h_{\eta}+h_\theta}s_i=\frac{h_{\eta}}{h_{\eta}+\frac {h_\theta }{2}}s_i$
$p=\lambda (\sum _{i=1}^a x_i+y+z)$ ， $x_i=d_x s_i$ ， $y=d_y s_M$
定义 $s_p=\frac{\frac{1}\lambda p-y}{ad_x}-\theta_1 =\theta_2+\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x}$ ，则 $s_p$ 是 $\theta_2$ 的无偏估计。
$\mathbb E[s_p]=\mathbb E[\mathbb E[s_p|\theta_2]] = \theta_2+ \mathbb E[\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x}]=\theta_2$$$$\mathbb Var[s_p]=\mathbb Var[\theta_2] + \mathbb Var[\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x}]=h_{\theta}^{-1}+h_p^{-1}$ 其中，定义 $h_p^{-1}=\mathbb Var[\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x}]$ 则 $h_p=(\frac{1}{a^2} a h_\eta^{-1}+\frac 1 {a^2d_x^2}h_z^{-1})^{-1}=\frac{a^2d_x^2h_{\eta}h_z}{ad_x^2h_z+h_\eta}$ 4. $\mathbb E[\theta_2|s_M,p] =\mathbb E[\theta_2|s_p]$
$\Sigma = \mathbb Cov[\theta_2,s_p]=\begin{bmatrix} h_\theta^{-1}& h_\theta^{-1}\\ h_\theta^{-1}&h_{\theta}^{-1}+h_{p}^{-1}\\ \end{bmatrix}$
$\mathbb E[\theta_2|s_M,p] = \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}(s_p-0)=h_\theta^{-1}(h_{\theta}^{-1}+h_{p}^{-1})^{-1}s_p=h_\theta^{-1}\frac{h_\theta h_p}{h_\theta+h_p}s_p=\frac{ h_p}{h_\theta+h_p}s_p$ 5. $RPE=\frac{1}{\mathbb Var[\theta_1+\theta_2|s_M,p] }=h_p$
$\mathbb Var[\theta_1+\theta_2|s_M,p] =\mathbb E[\theta_1+\theta_2|s_M,p]=(-1)^2(\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x})=h_p^{-1}$ 其中：
$\theta_1+\theta_2=\frac{\frac{1}\lambda p-y}{ad_x}-(\frac{1}{a}\sum_{i=1}^a\eta_i+\frac z {ad_x})$ 且已知 $s_M$ ，则 $y(s_M)|s_M$ 为非随机变量，于是 $\frac{\frac{1}\lambda p-y}{ad_x}|s_M,p$ 是非随机变量。

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