对流换热之动量微分方程

对流换热之动量微分方程——by Tangwei

当我们在研究物体对流换热时，相应的控制方程式不可回避的问题，也是解决对流换热之分析解的关键所在。对流换热过程中，温度场和速度场是相关联的，为了求解温度场，则又必须先求流体内的速度场。那么，速度场的求解就又涉及到动量微分方程（另一个是连续性方程），所以这里以三维微元体模型为例对流体动量微分方程进行讨论。

流体的流动是非常复杂的，如何对其进行描述尤为重要。现以微元体模型作为研究对象，讨论流体边界层的运动规律，通过微元体的受力与动量之间的关系，建立此控制体的动量微分方程。

运用牛顿第二定律：F=m·a （1）

作用于下图的微元体上，建立等量关系式。图中可看出u、v、w分别表示x、y、z上的速度分量

图1 流体微元体模型

（1）式中F和a均为向量，所以此式是向量关系。这里以x方向为例，则在x方向的分量：

$F_{x}$ =m· $a_{x}$ (2)

那么在x方向上，作用在微元体上的力 $F_{x}$ 包含哪些？主要是表面力和体积力这两个力源。前者包含了如作用于微元体表面的压力分布和以摩擦方式的则更盈利和切应力，后者包含了如重力、电场力、磁场力。

x方向上，作用于微元体的体积力记作Lx，所以在x方向的体积力分量为：

ρLx·dxdydz (3)

x方向上，表面力包括了六个面的切应力代数和以及x方向的两个正应力代数和：

（4）

作用于微元体x方向总的力为：

（5）

微元体质量恒定不变：

（6）

微元体的加速度在x方向上的分量记为ax，我们知道微元体的加速度是速度随时间的变化率，所以速度随时间的物质导数为：

（7）

但是呢，这个微元体是运动的流体微团，所以这里的导数并不代表空间固定点的流体速度变化，而是代表一个空间中运动的给定的流体微元体之速度变化。因此这个导数必与空间固定点有关。一个给定的流体微元在 dt 时间内的速度变化 du 由两部分组成：一部分是该空间固定点的流体速度在 dt 时间内的变化；另一部分是（在同一瞬间）相距 ds 的两点的流体速度之差，这里的 ds是给定流体微元在 dt 时间内的位移。

因此，上述前者为：