封闭解；傅里叶积分
19世纪偏微分方程的主要努力还是寻找封闭形式的解，即用初等函数及其积分表示的解，在计算中更容易掌握和使用。用封闭形式解偏微分方程最重要的方法是傅里叶积分，它起源于拉普拉斯开创的工作，后来傅里叶、柯西和泊松分别发表了成果，因为三个人都向科学院宣读了结果，又过了一段时间才发表论文，每个人都听过对方的论文，无法确定时间先后，因此无法确认这个重要发现的优先权。
傅里叶在1811年论文中讨论了在一个方向无限延伸的热传导问题，他从有界区域热方程解的普遍形式出发，经过换元和交换积分次序，得到了一个封闭形式的解。对t=0，解就是F(x)（在该无穷区域上给定的初始温度），可以是任何给定的函数，所以傅里叶断言，对任意函数F(x)有：
这是任意函数的傅里叶重积分的一种表示形式，傅里叶在书中指出如何用该积分解多种类型的微分方程。一个用法是基于得到封闭解，就得到了封闭解满足t=0时的初始条件。另一个用法是如果用欧拉关系式把傅里叶积分写成指数形式，有
，这个形式表示F(x)可分解为无穷多个具有连续变动频率q//2π和振幅为
的调和分量，而通常的傅里叶级数是把给定函数分解为无穷多个离散调和分量的集合。
柯西的做法类似傅里叶，他的波传播论文也获得了巴黎科学院1816年的奖金，首次系统性地研究了流体表面上的波动（1778年拉普拉斯开辟了这个课题），虽然柯西建立了一般的流体动力学方程，但也限于特殊情形，特别是他考虑方程,q后来称为速度势，xy则是空间坐标。他给出了解q，然后对y=0，
，然后柯西证明
，代入前式得到了F(x)的傅里叶二重积分表示
，和f(m)到F(x)的傅里叶变换及其逆变换。
柯西论文得奖后不久，泊松也发了篇关于波理论的报告，用了类似柯西的方法导出了傅里叶积分。
