但是傅里叶做了一些值得注意的观察。他注意到每个bv可以解释为x取值0-π时，曲线y=(2/π)f(x)sinvx下方的面积，即使对随意的函数都有意义，这种函数不必连续，或者只要从图形中知道即可。所以傅里叶下结论说，每个函数都可以表示为三角级数。但是除了丹尼尔伯努利，其他18世纪大牛都反对这个结论。我们不知道傅里叶是否了解之前别人搞了啥，1825年他说拉克鲁瓦告诉他欧拉做过相关工作，但没说是啥时候说的，不管怎样他没被别人吓倒。他选取了大量函数，对每个函数计算头几个bv，并作出正弦级数前几项和的图形。从图形上他得出结论：不管在0-π区间之外咋样，反正级数在0-π上总是表示f(x)。他说两个函数在给定区间内一致，但不一定在区间外一致，这就是为啥早期数学家不接受任意函数可展开为三角函数的原因，因为级数给的是0-π区间的值，在区间外则周期重复。
傅里叶得出bv后，就和欧拉一样了解到每个bv可以由级数乘以sinx，再从0到π积分获得。他又指出这个程序可以应用于余弦级数
。接着他考虑函数在(-π,π)的表达式，正弦级数表示一个奇函数f(x)=-f(-x)，余弦级数表示一个偶函数f(x)=f(-x)，但任何函数都可表示为一个奇函数和一个偶函数之和：
于是任何f(x)在(-π,π)上可表示为,系数由f(x)乘以cos vx或sin vx再从-π积到π，得到上述克莱罗和欧拉的结果。
傅里叶并未完全证明任意函数可展开成正弦级数和余弦级数之和，他给了一些严密的论证，但没说明一个函数可以展开为三角级数的必要条件，不过他相信任何函数都可以这样搞，他还说不管f(x)是否为解析表达式，是否服从任何正规法则，其级数总是收敛的，他的信念来自于几何证据。
傅里叶的工作除了推进偏微分方程理论，还迫使函数概念进行了修改。假设函数y=x在区间(-π,π)由傅里叶级数表示，则级数的性质在每个长度为2π的区间上重复，这样的函数不能用单个（有限的）解析式表示，然而傅里叶之前很多人都坚持一个函数是可用单个式子表示的，因为对y=x，x∈R的整个函数不能用级数表示，他们不能接受任意非周期函数怎么可以用三角级数表示，尽管欧拉和拉格朗日曾经把特殊非周期函数表示成三角级数。傅里叶级数也可以表示在区间(-π,π)或(0,π)的不同部分有不同解析式的函数，不管函数是否连续。最后他说在丹尼尔伯努利的赞助下（伯努利：喂？帮我打脸欧拉和达朗贝尔）解决了关于弦振动问题的争论。傅里叶级数标志着人们不受解析函数或可展成泰勒级数的函数的限制，此外还有一个重要事实：一个傅里叶级数在一整段区间上表示一个函数，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数（特殊情形下其收敛半径可以是无穷大）。
前面说到傅里叶1807年的论文没有完全说服巴黎科学院，因为傅里叶坚信任意函数可展开为三角函数，而拉格朗日坚决不信，他认为函数是由其在任意小区间上的值所决定的（适用于可解析的函数）。后来泊松说拉格朗日指出过任意函数可表示为傅里叶级数，但泊松说这话是因为嫉妒傅里叶，想把功劳给拉格朗日。
傅里叶的工作还解决了另一个欧拉和拉格朗日没搞清楚的问题，他们为了解一些特殊问题，把函数按贝塞尔函数或勒让德多项式展开为级数，而傅里叶揭示了任意函数可以展开为三角函数、贝塞尔函数、勒让德多项式等一些函数的级数，他进一步说明怎样满足施加于偏微分方程的解的初始条件，推进了解偏微分方程的技术。傅里叶1811年的论文到1824-1826年发表时，得到了认可，后来赢得了赞许。
傅里叶的方法立刻被泊松(1781-1840)吸收，他是19世纪顶尖的分析学家和一流的数学物理学家，虽然他的父亲希望他学医，但他后来在多科工艺学校读书授课。他从事热理论方面的工作，是弹性的数学理论的奠基人之一，也是最先提出把引力位势理论移植到静电磁学的人之一。泊松对傅里叶级数的证据印象深刻，以至于相信所有偏微分方程都可用级数展开求解。傅里叶级数的每一项本身是一些函数的乘积，每个函数是一个独立变量的函数。他认为这些展开式包括了最一般的解，他还相信如果一个展开式发散，就应该再找一个以其它函数表出的展开式，他是乐观过头了。
1815年起泊松解决了许多热传导问题，并使用了按三角函数、勒让德多项式、拉普拉斯曲面调和函数展开的级数，这些成果发表在他的《热的数学理论》一书。
