1 引言
偏微分方程诞生于18世纪，发展于19世纪，随着物理研究在深度和广度上的进展，微分方程在数量和类型上增加了，过去已知的方程如波动方程和位势方程也应用到新的物理领域了。偏微分方程变成数学的中心，一是因为在物理中应用广泛，二是因为偏微分方程的求解促进了函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等方面的发展，本章只能讨论其中的一小部分。
今天人们习惯按类型对偏微分方程分类，但19世纪初对偏微分方程的了解还不足以进行分类，由物理指导应讨论哪种方程，数学家则随意从一种类型的问题转向另一种，忽略了其中的差别（对今天来说是最基本的差别），毕竟物理从过去到现在都不关心数学家的分类。
2 热方程与傅里叶级数
傅里叶（Joseph Fourier,1768-1830）迈出了19世纪第一也是最重要的一步（还记得18世纪偏微分方程提到的欧拉、伯努利、达朗贝尔之争么）。傅里叶年轻时数学很好，但他想当士官，因为出身裁缝家庭，不让当，后来军校让他留校任教，他接受了，然后搞了一辈子数学。
当时流行搞热流动研究，这个研究有很多用途，比如冶炼金属等工业应用，以及确定地球内部温度、研究温度随时间变化等科研课题，1807年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的基本论文，被拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审拒绝了（感觉这仨人喜欢搞天体），不过科学院想鼓励他接着研究，宣布1812年给搞得好这个课题的发高额奖金，于是1811年傅里叶提交了修改过的论文，获得了奖金，但受到了缺乏严密性的批评，未能发表在当时科学院的《报告》里。傅里叶很生气，继续搞热学，在1822年发表了数学的经典文献《热的解析理论》（傅里叶思想的主要出处），把1811年论文的第一部分直接放进去了，两年后他成为科学院秘书，又把1811年论文原封不动地发表在《报告》中（傅里叶：莫欺中年穷ok?话说看了半天数学史难得有个人到中年出成果的，可能因此学界比较歧视中年人的智慧……）。
在吸放热的物体内部，温度分布一般是不均匀的，在任何点上都随时间变化，所以温度T是时间和空间的函数。函数的准确形式依赖于物体形状、密度、材料的比热、T的初始分布（t=0时的温度分布）以及物体表面的边界条件。傅里叶在书中考虑的第一个主要问题是在均匀和各向同性的物体内确定作为x,y,z,t函数的温度T， 根据物理原理T必须满足偏微分方程：，称为三维空间的热方程，其中k^2是一个常数，其值依赖于物体的质料。傅里叶解决了特殊的热传导问题，对两端T保持在0度，侧面绝热因而无热流通过的柱轴，求解热方程，这根轴只涉及一维空间，即
，边界条件T(0,t)=0,T(l,t)=0,t>0，初始条件T(x,0)=f(x),0<x<1，傅里叶使用分离变量法，令T(x,t)=Φ(x)ψ(t),代入微分方程得到Φ''(x)/(k^2*Φ(x))=ψ''(t)/ψ(t)，因为x变化时ψ''(t)/ψ(t)不变（是常数），同理t变化时Φ''(x)/Φ(x)也是常数，设Φ''(x)/(k^2*Φ(x))=ψ''(t)/ψ(t)=-λ，有Φ''(x)+λk^2Φ(x)=0和ψ''(t)+λψ(t)=0，把变量分离代入边界条件，有Φ(0)=0和Φ(l)=0，Φ(x)的通解是
，得到λ的取值(称为本征值or特征值)
，ψ的通解是指数函数，现在为了满足初始条件，对t=0必须有：
。于是傅里叶面临的问题是f(x)能否表示成三角级数，特别地，bv能否确定。
傅里叶进而回答这些问题（虽然略有严密性问题）。为简单起见，设l=π，他把每个正弦函数按麦克劳林定理展开为幂级数，最终把f(x)表示成x的幂级数。
这隐含了一个假设，即这个幂级数必须是f(x)的麦克劳林级数，因此，令两个f(x)中x的同次幂的系数相等，傅里叶发现对偶数k，
，此外bv是无穷线性代数方程组里的未知数的一个无穷集合。
对f(x)能否表示成三角级数，他面临同类的方程组，取前k项和前k个方程的右端常数，解前k个方程得bv,k表示bv的近似值，得到bv,k的一般表达式后，他大胆地下结论称：，但这次确定bv有很多困难，他用很复杂的程序说明几个不同的f(x)如何确定bv，再用这些特殊情形作为指导，得到了bv的含有无穷乘积和无穷和的一个表达式，他觉得没啥用，经过了一些大胆和创造性的步骤得到了公式
，在某种程度上这不算新结论，之前克莱罗和欧拉已经知道怎么把某些函数展开为傅里叶级数并得到公式：
此外，傅里叶得到的结果是很局限的，因为他假定f(x)有麦克劳林展开，即有无穷阶导数，最后，他的方法不够严密，且比欧拉的方法复杂。傅里叶不得不用无穷线性方程组，而欧拉使用三角函数的性质，更为简单。
