蒙日和特征理论
前面说到拉格朗日用分析法研究，而蒙日(1746-1818)引入了几何法。虽然他的贡献不如欧拉、拉格朗日和勒让德，但他开创了用几何解释分析研究的运动，引入了很多有用的想法，他认为：既然包含曲线的问题引出常微分方程，包含曲面的问题就能引出偏微分方程。对18世纪其他数学家来说，几何和分析是独立的，可对蒙日来说是同一个课题。
蒙日引入了非线性一阶偏微分方程的几何解释，并强调一个新概念：特征曲线。虽然当时别人不理解他的特征思想及积分作为包络的思想，但后来特征理论变得非常重要。
考虑半径是常数R，中心在XY平面上的双参数球面族，这个族的方程是，这个方程是非线性一阶偏微分方程
的完全积分，令b=Φ(a)引入任一子球面族，是中心在XY平面上的曲线y=Φ(x)上的球面族，这个单参数球面族的包络（管状曲面）也是
的一个解。对每一个特定a，方程
和（x-a)+(y-Φ(a))Φ’(a)=0联立得到特征曲线，即子族中两曲面交线。特征曲线的集合填满包络，即包络和子族中的任一曲面于一条特征曲线相切。通积分是特征曲线集合生成的每一曲面（单参数族的包络）的总体。（已经晕了）
全体解的包络是奇解z=±R。
考察两个球面子族，如果它们的包络沿任一球面相切，可称两个包络为相邻包络。两相邻包络的交线是球面是球面的特征曲线，和上文求得的特征曲线是一样的。任一球面可属于包络完全不同的无穷多个相异的子球面族，所以同一球面上有不同的特征曲线，这些特征曲线都是垂直平面中的大圆。
蒙日建立了特征曲线微分方程的分析形式，相当于用拉格朗日沙比法确定f(x,y,z,p,q)=0的特征曲线，不过他使用了全微分形式。
1784年蒙日引入特征锥概念，在空间任一点考虑一平面，有法向量（p,q,-1)，对一固定的(x,y,z)，满足F(x,y,z,p,q)=0的p和q的集合确定一全部通过(x,y,z)的单参数平面族，即一个顶点在(x,y,z)的锥的包络，称为(x,y,z)的特征锥或蒙日锥。
考察方程为z=g(x,y)的曲面S，则它在每个(x,y,z)有一个切平面。这个曲面是F=0的积分曲面的充要条件是：在每点(x,y,z)上F的切平面是(x,y,z)处蒙日锥的切平面。积分曲面S上的曲线C称为特征曲线，C上每点的切线是蒙日锥在该点的母线。1807年蒙日指出：每一积分曲面都是特征曲线的轨迹，并且只有一条特征曲线通过这一积分曲面的每一点。
特征曲线的意义：如果取一曲线x(t),y(t),z(t)对t值某一区间不是特征曲线，那么恰好存在F=0的一个积分曲面通过该曲线，即恰好存在一个z=g(x,y)使z(t)=g(x(t),y(t))。同时，对每个特征曲线都有无穷多个积分曲面通过它，通过该特征曲线的无穷多个积分曲面都沿这条曲线彼此相切。
