这道题有几个数学做法比较有意思。
题目描述
给定一个非负整数c，你要判断是否存在两个整数a和b，使得a^2+b^2=c。
解法
1. 利用等差数列公式
已知等差数列公式：
而且有
因此可以将c每次减少一个奇数（每次奇数增大2）；看剩下的是否为一个平方数。
第一次减1，共减1的平方；
第二次减3，共减2的平方；
第三次减5，共减3的平方；
...
以此类推，直到减后为负数。
class Solution {
public:
bool judgeSquareSum(int c) {
int num1 = sqrt(c);
if (num1 * num1 == c) { // 判断c本身就是一个平方数
return true;
}
num1 = c;
for (int i = 1; i <= num1; i += 2) {
num1 -= i; // 每次减去一个奇数
int num2 = sqrt(num1);
if (num2 * num2 == num1) {
return true;
}
}
return false;
}
};
2. 利用费马平方和定理
费马平方和定理（证明）：
一个非负整数
c如果能够表示为两个整数的平方和，当且仅当c的所有形如4k + 3的质因子的幂均为偶数。
因此我们需要对 c 进行质因数分解，再判断所有形如 4k + 3 的质因子的幂是否均为偶数即可。
class Solution {
public:
bool judgeSquareSum(int c) {
for (int base = 2; base * base <= c; base++) {
// 如果不是因子，枚举下一个
if (c % base != 0) {
continue;
}
// 计算 base 的幂
int exp = 0;
while (c % base == 0) {
c /= base;
exp++;
}
// 根据 Sum of two squares theorem 验证
if (base % 4 == 3 && exp % 2 != 0) {
return false;
}
}
// 例如 11 这样的用例，由于上面的 for 循环里 base * base <= c ，base == 11 的时候不会进入循环体
// 因此在退出循环以后需要再做一次判断
return c % 4 != 3;
}
};
3. 使用sqrt函数
枚举，本题 c 的取值范围在 [0,2^31−1]，因此在计算的过程中可能会发生 int 型溢出的情况，需要使用 long 型避免溢出。
class Solution {
public:
bool judgeSquareSum(int c) {
for (long a = 0; a * a <= c; a++) {
double b = sqrt(c - a * a)'
if (b == (int)b) {
return ture;
}
}
return false;
}
};
4. 双指针
class Solution {
public:
bool judgeSquareSum(int c) {
long left = 0;
long right = (int)sqrt(c);
while (left <= right) {
long sum = left * left + right * right;
if (sum == c) {
return true;
} else if (sum > c) {
right--;
} else {
left++;
}
}
return false;
}
};
