线性代数系列：行列式计算技巧

关键词：行列式，线性代数

内容摘要

天灾近卫行列式
范德蒙德行列式（指数增长型行列式）
列向量未知数代替的行列式计算
分块对角矩阵的行列式计算

天灾近卫行列式

这种行列式为对称阵，主对角线上为同一元素，其他位置为同一元素，形如
$\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{bmatrix}$

这种形式先将所有行相加，提取公因子，然后行相减凑出对角阵即可方便计算

$\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a + (n-1)b & a + (n-1)b & a + (n-1)b & \cdots & a + (n-1)b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{bmatrix}$

（将第2行到第n行都加到第1行）

$= \big(a + (n-1)b\big) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{bmatrix}$

（从第1行提出公因子 $a + (n-1)b$ ）

$= \big(a + (n-1)b\big) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b \\ \end{bmatrix}$

（第 $i$ 行减去第1行的 $b$ 倍， $i = 2,3,\ldots,n$ ）

$= \big(a + (n-1)b\big) (a - b)^{n-1}$

✅ 最终结果：
$\det = \big(a + (n-1)b\big)(a - b)^{n-1}$

例题1

$\left| \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ \end{array} \right| = \ ?$

此题可以死算，但是用天灾近卫公式更简单，a=0，b=2，n=4，则
$\big(a + (n-1)b\big)(a - b)^{n-1} = (0 + 3 \times 2)(0 - 2)^3 = 6 \times (-8) = -48$

范德蒙德行列式（指数增长型行列式）

这种行列式的初始行/列元素都全是1，每一行/列都是呈现出指数增长的，例如
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a & b & c & \cdots & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & \cdots & d^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^{n-1} & b^{n-1} & c^{n-1} & \cdots & d^{n-1} \\ \end{vmatrix}$

这个式子转置这个规律仍然成立，因为矩阵转置行列式不变，范德蒙德行列式的行列式结果为
$(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)$
即以指数为1的那一行为准，从右侧开始，挑选一个左侧的做差再全部累乘

例题2

$\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 9 & 8 & 7 & 6 \\ \end{array} \right| = \ ?$

此题可以死算，但是结构和范德蒙德行列式很像，指数上从1次到3次都有，缺少0次，因此需要构造初始全是1的行，将第四行改造为初始行
$\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 9 & 8 & 7 & 6 \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 10 & 10 & 10 & 10 \\ \end{array} \right| \quad \text{(第4行加第1行)}$

$= 10 \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| \quad \text{(第4行提出公因子 10)}$

$= -10 \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ \end{array} \right| \quad \text{(交换三次变为负)}$

注意到右边是一个范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant），其值为：
$\prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_j - x_i) \quad \text{其中 } x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$

计算：
$= -10 \cdot (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = -10 \cdot (1)(2)(3)(1)(2)(1) = -10 \cdot 12 = -120$

✅ 最终结果：
$\boxed{-120}$

列向量未知数代替的行列式计算

这类题用将某矩阵的行列式给到，同时给到矩阵的列向量组形式，然后对列做变换，求变换后的行列式。

例题3

设 3 阶矩阵 $A = (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3)$ ，其中 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 为三维列向量，若 $|A| = \frac{1}{2}$ ，则
$|\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2,\, \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3,\, \mathbf{a}_3 + \mathbf{a}_1| = \ ?$

此题变换后的矩阵，是某列的几倍加上另一列，但是是同时进行的，因此不符合某列的几倍加上另一列行列式不变的性质，因为是同时进行的，所以先求出变换矩阵，再通过|AB|=|A||B|解决

易得
$[\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2,\, \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3,\, \mathbf{a}_3 + \mathbf{a}_1] = [\mathbf{a}_1,\, \mathbf{a}_2,\, \mathbf{a}_3] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

因此
$|\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2,\, \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3,\, \mathbf{a}_3 + \mathbf{a}_1| = |A| \cdot \left| \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

发散一下，此题若为求 $|a1+a2, a2+a3, a3|$ ，则完全符合行列式的初等变换中将一列的几倍加在另一列上，先将a2加在a1上，再将a3加在a2上，因此行列式值不变，这个过程是先后进行的，如果还是假设这个变换是同时进行的，求出变换矩阵为
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
该变换矩阵的行列式为1，所以 $1/2*1=1$

因此同时变换和先后变换，最终的行列式结果并不冲突，优先使用同时变换，因为某些情况下不能先后变换。

分块对角矩阵的行列式计算

对于分块矩阵，行列式有以下公式
$\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & 0 \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B|$

$\begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B|$