• 多重背包问题Ⅰ

原题链接

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

数据范围：

0< N , V ≤100
0< vi , wi , si ≤100

//朴素版多重背包问题≈朴素版完全背包问题，只不过加了物品数量的限定条件
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=110;

int n,m;
int s[N],w[N],v[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

• 多重背包问题Ⅱ

原题链接

数据范围：

0< N ≤1000
0< V ≤2000
0< vi , wi , si ≤2000

最主要的思想是二进制优化,把问题转化为01背包问题

        int k=1;
        while(k<=s)//类似于将s[i]=16,拆成一堆二进制后1 2 4 8 1，与体积，质量乘积打包成一份一份
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        //如果s[i]没用连续的二进制打包完
        if(s>0)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }

    
    n=cnt;//这是新的物品数量

优化成简短点的代码

for(int i=0;i<n;i++)
{
  for(int k=1;k<=s;k*=2)//多重背包二进制优化
   {
       for(int j=m;j>=k*v;j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v]+k*w);
       s-=k;    
   }
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=12010;

int dp[N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        //对每个s[i]二进制打包
        int k=1;
        while(k<=s)//类似于将s[i]=16,拆成一堆二进制后1 2 4 8 1，与体积，质量乘积打包成一份一份
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        //如果s[i]没用连续的二进制打包完
        if(s>0)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    
    n=cnt;//这是新的物品数量
    //因为经过上述操作后，每个物品的数量都来变成了1，于是转变成01背包问题，O(nvlogs)
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
            
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

• 分组背包

原题链接

由当前物品的类型去判断属于哪一类背包问题，做出第i号物品在该类背包模型下的最优决策

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=1e3+10;

int dp[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        if(s==0)//完全背包
        {
            for(int j=v;j<=m;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
        }
        else
        {
            if(s==-1)s=1;//01背包
            for(int k=1;k<=s;k*=2)//多重背包二进制优化
            {
                for(int j=m;j>=k*v;j--)
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v]+k*w);
                s-=k;
                
            }
            if(s)//剩余s去做01背包
            {
                for(int j=m;j>=s*v;j--)
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-s*v]+s*w);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    
    return 0;
}