同济高等数学第七版2.1习题精讲（续五）

16.讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性：

(1) $y=|sinx|$

(2) $y=\begin {cases}x^2sin{\frac{1}{x}},x\neq 0,\\0,x= 0\end{cases}$

解：讨论连续性与可导性的问题，可以先讨论可导性，如果可导必连续，不可导再讨论连续。万一要可导可以省点事。当然算错了就白扯了。

(1)本题含有绝对值，简单思考一下函数图像就会发现 $x=0$ 处函数不一般。

$f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x}{x}=-1$
$f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1$

所以第一个就不可导。

因为 $\lim_{x\to 0}x^2sin{\frac{1}{x}}=f(0)=0$ 利用的是无穷小量与有界量之积仍为无穷小。所以在 $x=0$ 处连续。

(2)本题没有分别讨论左右极限是因为在 $x=0$ 的左右两边都是一个表达式，无需分段讨论。

$f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$

如果先讨论连续性，因为 $\lim_{x\to 0}x^2sin{\frac{1}{x}}=f(0)=0$ 利用的是无穷小量与有界量之积仍为无穷小。所以在 $x=0$ 处连续。

17.设函数 $y=\begin {cases}x^2,x\leq 1,\\ax+b,x>1.\end{cases}$ 为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，可导 $a,b$ 应取什么值？

解：要使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，需要左极限=右极限=函数值 $\lim_{x\to1^-}x^2=\lim_{x\to1^+}ax+b=f(1)=1$ 得到 $a+b=1$

要使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，需要在该点的左导数=右导数，即：
$f_{-}^(1) =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2 \\ f_{+}^(1) =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a x+b-1}{x-1} \\ =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a(x-1)+a+b-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a(x-1)}{x-1}=a$
所以 $a=2,b=-1$

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