同济高等数学第七版2.1习题精讲（续二）

8.设 $f(x)$ 可导， $F(x)=f(x)(1+|sinx|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（）条件。

解： $F(x)$ 的右导数 $F'_+(0)=\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)(1+sinx)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\left [\frac{f(x)-f(0)}{x-0}+\frac{f(x)sinx}{x}\right]=f'(x)+f(0)$

$F(x)$ 的左导数 $F'_-(0)=\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)(1-sinx)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\left [\frac{f(x)-f(0)}{x-0}-\frac{f(x)sinx}{x}\right]=f'(x)-f(0)$

根据左导数等于右导数在该点才能可导，上面两个结果相等推出 $f(0)=0$ 。同时可导也要求左导数等于右导数，同样推出 $f(0)=0$ 。所以应为充要条件。

9.求下列函数的导数。

(1) $y=x^{4}$ ; $\quad$ (2) $y=\sqrt[3]{x^{2}} ; \quad$ (3) $y=x^{1.6}$
(4) $y=\frac{1}{\sqrt{x}} ; \quad$ (5) $y=\frac{1}{x^{2}} ; \quad$ (6) $y=x^{3} \sqrt[5]{x}$
(7) $y=\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$

解：根据幂函数求导公式，为了便于求解如果幂函数形式较为"不同"先将其都改成 $x$ 的多少次幂的形式。

(1) $y'=4x^{3}$ ;
(2) $y=\sqrt[3]{x^{2}}=x^{\frac{2}{3}},y'=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
(3) $y^{\prime}=1.6 x^{0.6}$
(4) $y=x^{-\frac{1}{2}}, y^{\prime}=-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$
(5) $y=x^{-2}, y^{\prime}=-2 x^{-3}$
(6) $y=x^{\frac{16}{5}}, y^{\prime}=\frac{16}{5} x^{\frac{11}{5}}$
(7) $y=x^{2+\frac{2}{3}-\frac{5}{2}}=x^{\frac{1}{6}}, y^{\prime}=\frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}}$

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