矩阵分析学习笔记（二）-矩阵的分解

满秩分解

如果矩阵 $A$ 的行（列）向量组线性无关，则称 $A$ 为行（列）满秩矩阵。

定理：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，A的秩为 $r$ ，则存在 $m\times r$ 列满秩Ｆ和 $r \times n$ 行满秩 $G$ ，使 $A=FG$ ，称为矩阵 $A$ 的满秩分解。

设 $F=(p_1,p_2,\cdots,p_r), G=(q_1,q_2,\cdots,q_r)^T$ ，则
$A=\left( \matrix{ p_1,p_2,\cdots,p_r }\right) \left[ \matrix{ q_1^T\\q_2^T\\\cdots\\q_r^T }\right]=\sum_{i=1}^np_iq_i^T$
例：设 $A=\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5\right)=\left[\matrix{2&1&6&1&0\\3&2&10&1&0\\2&3&10&-1&3\\4&4&16&0&1}\right]$ ，求 $A$ 的满秩分解。

解：先用初等行变换将 $A$ 化为简化阶梯型矩阵。

$\left[\matrix{2&1&6&1&0\\3&2&10&1&0\\2&3&10&-1&3\\4&4&16&0&1}\right]\rightarrow\left[\matrix{2&1&6&1&0\\1&1&4&0&0&\\0&2&4&-2&3\\0&2&4&-2&1}\right]\rightarrow\left[\matrix{1&0&2&1&0\\0&1&2&-1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0}\right]\rightarrow(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5)=\left(\matrix{G\\0}\right)$

其中 $G=\left[\matrix{1&0&2&1&0\\0&1&2&-1&0\\0&0&0&0&1}\right]$ 是 $3\times5$ 行满秩矩阵；

$\beta_1,\beta_2,\beta_5$ 线性无关，且 $\beta_3=2\beta_1+2\beta_2,\beta_4=\beta_1-\beta_2$ 。由于初等行变换保持列向量线性组合关系，故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_5$ 线性无关，且 $\alpha_3=2\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_4=\alpha_1-\alpha_2$ 。

取 $F=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_5)=\left[\matrix{2&1&3\\3&2&0\\2&3&3\\4&4&1}\right]$ 是 $4\times3$ 列满秩矩阵，

则 $FG=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_5)\left[\matrix{1&0&2&1&0\\0&1&2&-1&0\\0&0&0&0&1}\right]=(\alpha_1,\alpha_2,2\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2,\alpha_5)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)=A$

定理二：（正交满秩分解定理）设 $A$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵， $A$ 的秩为 $r$ ，则存在 $m\times r$ 列正交矩阵 $W$ 和行满秩矩阵的 $r \times n$ 阶矩阵 $R$ ，使得 $A=WR$ 。其中， $W$ 列正交含义为 $W^TW=E_r$ 。

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