代数-几何方法
1865-1870年间克莱布什和哥尔丹的合作开启了代数几何研究的一个新方向。克莱布什不满足于只指出黎曼研究对曲线的重要意义，想用曲线的代数理论来建立阿贝尔积分理论。1865年他和哥尔丹合作写出了《阿贝尔函数论》。这时魏尔斯特拉斯更严密的阿贝尔积分理论尚无人知道，而黎曼的基础（他的存在性证明基于狄利克雷原理）不仅使人感到奇怪，而且还没有完善建立。而且那时对于代数型（或曲线）的不变量理论，以及对于用射影方法作为处理双有理变换的所谓第一步，都有相当大的热情。
虽然克莱布什和哥尔丹的工作对代数几何作出了贡献，但并没有用纯代数理论来建立黎曼的阿贝尔积分理论。虽然他们不同于黎曼的函数论，用了代数和几何的方法，但他们也用了函数论的基本结果和魏尔斯特拉斯的函数论方法。此外他们也用了有理函数和交点定理的某些结果作为已给事实。总的来说，他们的贡献是：从一些函数论的结果出发，用代数方法获得了先前用函数论方法所建立的结果。有理变换是代数方法的精髓。
他们给出有理变换下代数曲线亏格p的不变性的第一个代数证明，以f=0的次数和它的奇点个数作为p的定义。于是，利用p是f(x1,x2,x3)=0的线性无关的第一类积分的个数（而且这些积分处处有限）这一事实，他们证明变换把第一类积分变到第二类积分，从而p是不变量。他们也给出阿贝尔定理的新证明（应用函数论的思想和方法）。
他们的工作是不严密的，特别是他们按普吕克的传统用任意常量的个数来确定Cm和Cn的交点个数，没有对特殊类型的二重点进行研究。克莱布什-哥尔丹的工作对代数函数论的意义在于：用代数形式清楚地表达出像阿贝尔定理那样的结果，并用这种形式研究阿贝尔积分。他们把阿贝尔积分和阿贝尔函数论中的代数部分放在更突出的位置，特别是在变换本身的基础上建立了变换理论。
克莱布什和哥尔丹提出很多问题，这些问题指出了以纯粹代数理论对代数函数进行代数研究的一个新方向。1871年起Alexander von Brill和马克思诺特继续进行用代数方法的研究，1874年发表了关键性文章。Brill和诺特的理论基于著名的留数定理，用这个代替了阿贝尔定理。他们也用代数方法证明了关于代数函数F(w,z)里常量个数的黎曼-罗赫定理(Riemann–Roch theorem)，这里函数F(w,z)除去在Cn的m个已给点外不再变为无穷大。根据这个定理，满足所说条件的最一般的代数函数形为，其中μ=m-p+τ，τ是线性无关的函数Φ(n-3次)的个数，它们在m个已给点处为0，p是Cn的亏格，例如若Cn是没有二重点的C4，则p=3，且Φ都是直线。在这种情况下若m=1,则τ=2，且μ=1-3+2=0；若m=2,则τ=1，且μ=2-3+1=0；若m=3，则τ=1或0，且μ=1或0。当μ=0时，没有代数函数在已给点处变为无穷大，当m=3时，假如三个已知点在一条直线上，有且仅有一个这样的函数。当三点在一直线v=0上，此线交C4于第四个点，选取一直线u=0过该点，则F1=u/v。
这个工作取代了黎曼对在已知点变为无穷的最一般的代数函数的确定法。再者Brill-Noether的成果胜过射影观点，因其所处理的由f=0给出的曲线Cn上点的几何，其相互关系在一一对应双有理变换下不变，第一次从代数上证明了曲线交点定理，舍弃了计算常量个数的方法。
