学习分析，总会遇见各种各样的不等式，而且总是起着化腐朽为神奇的功能，在证明的最要紧的地方出现。
一般的在学习中遇见的不等式，在高中阶段就是基本不等式，现在看来，基本不等式还是很有意思的，总能表达成一些非常漂亮的形式，平方和，算术和，根式与倒数和，将几类重要的函数形式联系起来了。
在初等微积分中，常用的就是三角不等式和柯西不等式，还有一些绝对值不等式，这构成了求极限时的各种放缩技巧，都可以给出非常漂亮的证明。
再进一步的，会发现一些函数不等关系，不再是针对可列的项，而是连续的区间。
接着在一些复杂一些的理论中，出现了上确界与所有可能的界，最大值与所有可能的值的求和间的不等关系，反映了从一般项中忽略非主要项的简化方法。
最后，就是泛函分析中的不等式，由空间的基本性质得到的不等关系，也就是各种距离空间中的各式各样的三角不等式，定义一个距离，就伴随着一个三角不等式，比如闵可夫斯基不等式，侯德尔不等式。
还有函数的凸性引出的一系列不等式，比如詹森不等式，可以说是不等式的一个统一形式，许多重要不等式都是他的特例。
然后，平行的在概率论中也会出现一些不等式，切比雪夫不等式，博雷尔不等式，将随机变量的矩和常用统计量联系起来了，构成了大数定律的基础。
这样梳理了一下后，发现不等式确实非常多，很多重要的分析中的定理都是通过不等式揭示出来的。之前看到一个说法，不等式实际由恒等式来的，将恒等式的一边去掉一些项就得到了不等式，这就不得不考虑到求极限的过程了，极限本质上也是通过忽略一些过于微小的项而求得的。当然，这种说法也是值得怀疑的，很多函数不等式很难写成恒等式的形式，说是由恒等式而来就太不自然了。
不等关系其实就是序关系，是建立在序结构之上的，所以对于一些基本的代数结构而言，就不存在不等关系。而分析就是建立在序结构之上的，所以不等式就变得非常重要。
值得注意的是，不等关系的应用上也充满了抽象，带入的方法论，不等式就是一个结构，而不等式中的未定项就是等待填充的内容，不论这个内容是什么东西，常数，变量，函数，结构，只要满足要求，就视为了合理的内容，就可以带入，这是不是与范畴论中不论对象，只关注关系一样呢？
所以，小小的一个不等式其实也蕴含了数学中非常深奥的道理。
