题目描述：
寻找一个数组的最长递增子序列的长度
例如：arr=[2,1,6,4,5,2,7,4]
那么：函数返回4，因为（1,4,5,7）或者（2,4,5,7）为最长递增子序列，长度为4。
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题目扩展 俄国沙皇问题
方法一：O(n^2)
算法流程：
- 使用一个数组h[],其中h[i]表示原数组以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度。
- 从i=0到i=n-1过程重复进行n次，求得h=[1,1,2,1,3,2,4,3]。求h[i]的时候，需要考察那些比i小的j,如果arr[i]>arr[j],那么h[i]至少应为h[j]+1，这样对前边的遍历之后即可知道h[i]。
- h的各个元素求得之后，遍历一遍求最大即可。
算法原理：
原数组的最长递增子序列必然是以原数组的某一个位置作为结尾，所以如果我们求得以数组的每一位置结尾的最长递增子序列，那么这些“最长”中的最大值即为所求。而求每一位置的最大的时候就由前边的那些位置上的元素和最长子序列长度来决定。由于一共求n次，每次都需要遍历前面的，所以复杂度为O(n^2)。
算法代码：
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if(nums==null||nums.length==0)
return 0;
int[] h=new int[nums.length];
for(int i=0;i<nums.length;i++){
int max=0;
for(int j=0;j<i;j++){
if(nums[i]>nums[j]){
max=Math.max(h[j],max);
}
}
h[i]=max+1;
}
int max=0;
for(int i=0;i<h.length;i++){
if(h[i]>max)
max=h[i];
}
return max;
}
方法二：O(nlog(n))
算法流程：
- 使用一个数组h,首先令h[0]=arr[0]。记已经赋值了的h前部分为有序区，我们只考察有序区。
- 往后遍历，对于arr[i],在h的有序区中寻找第一个大于arr[i]的位置。如果找到，就把那个位置的值更新为arr[i]，否则h的有序区长度增一，并且新增位置的值就为arr[i]。使用二分查找位置
- 上述过程中，从位置0到，arr[i]的更新位置的元素个数就是以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度。从二分查找出的位置就可以知道这个长度。使用一个全局变量来max存储更新最长递增子序列的长度。
算法原理：
h[i]表示遍历到当前时刻为止，长度为i+1的最长递增子序列的最小末尾。这样其实我们每次所做的工作就是要么增加了最长递增子序列的长度，要么就是长度不变，但是更新了每个长度对应的最小末尾，而这有利于之后扩展长度，因为你更小嘛，我后半的元素更容易比你大。这样其实最后的h的有效区长度即为所求，但是为了不再去遍历，中途使用一个max来记录当前位置时的最长递增子序列，更新max即可。做了n次,每次二分查找位置log(n),所以复杂度为n(logn)。
算法代码：
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if(nums==null||nums.length==0)
return 0;
int[] h=new int[nums.length];
h[0]=nums[0];
int max=0;//最长子序列最右边的位置
for(int i=1;i<nums.length;i++){
if(nums[i]>h[max]){
h[++max]=nums[i];
continue;
}
else{
int pos=findFirstBigger(h,0,max,nums[i]);
h[pos]=nums[i];
}
}
return max+1;
}
public int findFirstBigger(int[] h,int left,int right,int target){
if(left==right)
return left;
int mid=(left+right)/2;
if(h[mid]<target)
return findFirstBigger(h,mid+1,right,target);
else
return findFirstBigger(h,left,mid,target);
}
