1. 多项式回归 & Pipeline

1.1 多项式回归：

研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归（Polynomial Regression）。多项式回归是线性回归模型的一种，其回归函数关于回归系数是线性的。其中自变量x和因变量y之间的关系被建模为n次多项式。

如果自变量只有一个时，称为一元多项式回归；如果自变量有多个时，称为多元多项式回归。在一元回归分析中，如果变量y与自变量x的关系为非线性的，但是又找不到适当的函数曲线来拟合，则可以采用一元多项式回归。

由于任一函数都可以用多项式逼近，因此多项式回归有着广泛应用。

其实多项式回归在算法并没有什么新的地方，完全是使用线性回归的思路，关键在于为数据添加新的特征，而这些新的特征是原有的特征的多项式组合，采用这样的方式就能解决非线性问题。

这样的思路跟PCA这种降维思想刚好相反，而多项式回归则是升维，添加了新的特征之后，使得更好地拟合高维数据。

1.2 Pipeline:

在具体编程实践时，可以使用sklearn中的pipeline对操作进行整合。Pipeline就是将所有步骤都放在一起。参数传入一个列表，列表中的每个元素是管道中的一个步骤。每个元素是一个元组，元组的第一个元素是名字（字符串），第二个元素是实例化。

2. 偏差与方差

偏差（bias）(欠拟合)：偏差衡量了模型的预测值与实际值之间的偏离关系。例如某模型的准确度为96%，则说明是低偏差；反之，如果准确度只有70%，则说明是高偏差。

方差（variance）（过拟合）：方差描述的是训练数据在不同迭代阶段的训练模型中，预测值的变化波动情况（或称之为离散情况）。从数学角度看，可以理解为每个预测值与预测均值差的平方和的再求平均数。通常在模型训练中，初始阶段模型复杂度不高，为低方差；随着训练量加大，模型逐步拟合训练数据，复杂度开始变高，此时方差会逐渐变高。

模型误差 = 偏差 + 方差 + 不可避免的误差（噪音）。一般来说，随着模型复杂度的增加，方差会逐渐增大，偏差会逐渐减小，见下图：

偏差与方差的权衡：

我们要知道偏差和方差是无法完全避免的，只能尽量减少其影响。

1.在避免偏差时，需尽量选择正确的模型，一个非线性问题而我们一直用线性模型去解决，那无论如何，高偏差是无法避免的。

2.有了正确的模型，我们还要慎重选择数据集的大小，通常数据集越大越好，但大到数据集已经对整体所有数据有了一定的代表性后，再多的数据已经不能提升模型了，反而会带来计算量的增加。而训练数据太小一定是不好的，这会带来过拟合，模型复杂度太高，方差很大，不同数据集训练出来的模型变化非常大。

3.最后，要选择合适的模型复杂度，复杂度高的模型通常对训练数据有很好的拟合能力。

其实在机器学习领域，主要的挑战来自方差。处理高方差的手段有：

1.降低模型复杂度

2.减少数据维度，降噪

3.增加样本数

4.使用验证集

偏差衡量了模型的预测值与实际值之间的偏离关系，主要的原因可能是对问题本身的假设是不正确的，或者欠拟合。方差描述的是模型预测值的变化波动情况（或称之为离散情况），模型没有完全学习到问题的本质，通常原因可能是使用的模型太复杂，过拟合。

参数或者线性的算法一般是高偏差低方差；非参数或者非线性的算法一般是低偏差高方差。所以我们需要调整参数来去衡量方差和偏差的关系。

3. 模型正则化 L1&L2 正则

模型正则化（Regularization），是对学习算法的修改，限制参数的大小，减少泛化误差而不是训练误差。

L1正则化：在目标函数中加了L1范数这一项。使用L1正则化的模型叫做LASSO回归。绝对值和最小。

注意事项：

1.取值范围是1～n，即不包含。这是因为，不是任何一个参数的系数，是截距。反映到图形上就是反映了曲线的高低，而不决定曲线每一部分的陡峭与缓和。所以模型正则化时不需要。

2.对于超参数\alpha系数，在模型正则化的新的损失函数中，要让每个都尽可能小的程度占整个优化损失函数程度的多少。即\alpha的大小表示优化的侧重。

L2正则化：在目标函数中加了L2范数这一项。使用L2正则化的模型叫做岭回归。平方和最小。

L2范数能让解比较小（靠近0），但是比较平滑（不等于0）且不具有稀疏性。

L1正则化就是在损失函数后边所加正则项为L1范数，加上L1范数容易得到稀疏解（0比较多），一般来说L1正则化较常使用。

L2正则化就是损失后边所加正则项为L2范数，加上L2正则相比于L1正则来说，得到的解比较平滑（不是稀疏），但是同样能够保证解中接近于0（但不是等于0，所以相对平滑）的维度比较多，降低模型的复杂度。