LeetCode 面试题 57 - Ⅱ. 和为s的连续正数序列【Easy】【Python】【滑窗】【数学】
问题
输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。
示例 1：
输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]
示例 2：
输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]
限制：
1 <= target <= 10^5
思路
解法一
滑动窗口
i 指针表示窗口左边界，j 指针表示窗口右边界。
当 sum < target 时，j 指针右移。
当 sum > target 时，i 指针右移。
当 sum = target 时，窗口内的数组加入 res，i 指针右移。
注意窗口的 range 是左闭右开 [ )。
时间复杂度: O(n)
Python3代码
class Solution:
def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
# solution one: sliding window
i, j = 1, 1
sum = 0
res = []
while i <= target // 2:
if sum < target:
# j + 1
sum += j
j += 1
elif sum > target:
# i + 1
sum -= i
i += 1
else:
arr = list(range(i, j))
res.append(arr)
# i + 1
sum -= i
i += 1
return res
解法二
求根公式
可以看出是等差数列，于是想到求和公式:
设 x 为首项，y 为末项，则 y-x+1 为项数。设和为 target:
将上式展开：
根据求根公式：
去掉负数根，就能得到下式：
Python3代码
class Solution:
def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
# solution two: formula
res = []
for y in range(1, target // 2 + 2): # range:[ )
x = (1/4 + y**2 + y - 2*target) ** (1/2) + 0.5
if type(x) != complex and x - int(x) == 0: # x can't be complex and x must be int
res.append(list(range(int(x), y + 1)))
return res
解法三
间隔法
根据解法二的求根公式，将 i = y - x 代入，得到：
进一步化简，得到：
最终得到：
于是，得到两个条件：
1. i(i+1)/2 要小于 target
2. 分子必须可以整除分母
Python3代码
class Solution:
def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
# solution three
i, res = 1, []
while i*(i+1)/2 < target:
if not (target - i*(i+1)/2) % (i+1):
x = int((target - i*(i+1)/2) // (i+1))
res.append(list(range(x, x+i+1)))
i += 1
# reverse
return res[::-1]
