ps Yuji Tachikawa今年二月份在Cern的冬季学校做的有关anomaly还有拓扑态的lectures太有意思了。好多东西都被联系在了一起，真希望我能多懂点。
一个很有趣的问题：什么是最简单的QFT？
我们可以设想QFT大概有两部分构成，一个Hilber空间，里面装了所有可能的量子态，这里我们可以给一个具体的量子态定义，可以定义场的量子态是一个泛函，也就是说每一个量子态把每一个场的分布都对应一个数，这个数可以用来表示这个场的分布或是说场的构形的概率。出了这个空间，我们还需要一个作用量路径积分，这个作用量路径积分把一对量子态对应到一个数，这个数可以理解为由一个量子态演化另一个量子态的概率。
最简单的QFT无外乎，要求Hilbert空间要简单，作用量要简单。我们在课本上常见的QFT的Hilbert空间都是无穷维的，因为场是连续的，在每一个空间点都有一个自由度，因为空间点的无穷就导致了场的构形的无穷，一般我们要求不同的场的构形可以有不同的概率，这就需要无穷多个量子态。所以很自然的，要降低Hilbert空间的维度，我们不能对于空间的每一点都设置一个自由度，最好是任何空间点本身都不设置自由度。所以我们可以要求不管空间点怎么变化怎么移来移去，并不会影响“场的构形”。既然不依赖于点这样的局部的概念，那么场就只能依赖空间本身整体不依赖于空间形状改变的概念，不依赖空间形状自由改变的概念就是拓扑性质。这样的话，我们就可以让场“只依赖”某些拓扑不变量。比如群纤维从，这样的选择对应了Chern-Simon 理论。因为不等价的纤维从一般是有限的，所以最后对应的Hilber空间就是有限的。
再有，我们还想要作用量是简单的。同样的道理，我们要求路径积分只依赖拓扑不变量进行求和。
这个大概就是拓扑场论的基本概念。然后最自然和准确的语言来描述拓扑场论就是category了。
