一个简单的不等式结论

这个不等式结论是19/1/13写关于圆锥曲线求线段比值最大值时发现的。

结论

设 m,n,a,b>0

若 x>y 则
\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} \leqslant \frac{2\sqrt{mn}+x}{2\sqrt{mn}+y}

若 x<y 则
\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} \geqslant \frac{2\sqrt{mn}+x}{2\sqrt{mn}+y}

证明

\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} = 1+\frac{x-y}{\frac{ma}{b}+\frac{nb}{a}+y}
然后分类讨论 x 与 y 的大小关系，利用基本不等式可以得到以上结论。

例一

若实数 x,y 满足 4x^2-5xy+4y^2=5 ，则 x^2+y^2 的最大值为多少？

由以上结论可得
\frac{4x^2+4y^2}{4x^2+4y^2-5xy} \leqslant \frac{2\sqrt{4 \times 4}+0}{2\sqrt{4 \times 4}-5} = \frac{8}{3}
即
\frac{4(x^2+y^2)}{5} \leqslant \frac{8}{3}
故
x^2+y^2 \leqslant \frac{10}{3}

例二

若实数 x,y 满足 x^2+y^2+xy=1 ，则 x+y 的最大值为多少？

由以上结论可得
x+y \leqslant \sqrt{x^2+y^2+2xy} = \sqrt{\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2+xy}} \leqslant \sqrt{\frac{2+2}{2+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

说明

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