一个简单的不等式结论

这个不等式结论是19/1/13写关于圆锥曲线求线段比值最大值时发现的。

结论

设 $m,n,a,b>0$

若 $x>y$ 则
$\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} \leqslant \frac{2\sqrt{mn}+x}{2\sqrt{mn}+y}$

若 $x<y$ 则
$\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} \geqslant \frac{2\sqrt{mn}+x}{2\sqrt{mn}+y}$

证明

$\frac{ma^2+nb^2+xab}{ma^2+nb^2+yab} = 1+\frac{x-y}{\frac{ma}{b}+\frac{nb}{a}+y}$
然后分类讨论 $x$ 与 $y$ 的大小关系，利用基本不等式可以得到以上结论。

例一

若实数 $x,y$ 满足 $4x^2-5xy+4y^2=5$ ，则 $x^2+y^2$ 的最大值为多少？

由以上结论可得
$\frac{4x^2+4y^2}{4x^2+4y^2-5xy} \leqslant \frac{2\sqrt{4 \times 4}+0}{2\sqrt{4 \times 4}-5} = \frac{8}{3}$
即
$\frac{4(x^2+y^2)}{5} \leqslant \frac{8}{3}$
故
$x^2+y^2 \leqslant \frac{10}{3}$

例二

若实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2+xy=1$ ，则 $x+y$ 的最大值为多少？

由以上结论可得
$x+y \leqslant \sqrt{x^2+y^2+2xy} = \sqrt{\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2+xy}} \leqslant \sqrt{\frac{2+2}{2+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

说明

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最后编辑于：2019.01.29 12:01:08

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