第一天复习数值分析计算和第二章插值法。
1.什么是绝对误差？
绝对误差概念
比如x=1.23,x*=1.234,则绝对误差为|1.234-1.23|=0.04
2.什么是相对误差？
相对误差概念
3.什么是有效数字？
有效数字概念
例子：写出下列个数的具有3位有效数字的近似值
18.93，0.03456，8.0032
则它的三位有效数字分别为 18.9，0.0345，8.00。
注意：0.2300是四位有效数字
4.什么是插值？
插值的概念
其中[a,b]为插值区间，x1,x2,.....xn为插值节点。
最终求得的P(xi)=f(xi),i=1,2,....n
则称P(x)为f(x)的插值函数
5.基函数插值法
基函数插值法
基函数法基本步骤
1.寻找合适的基函数
2.确定插值多项式在这组基下的表示系数
6.单项式基函数
利用线性无关的单项族：1,x,x^2,....,x^n.
构造n次多项式：f(x)=a0+a1*x+a2*x+......+an*x^n.
7.Lagrange插值基函数。
Lagrange插值基函数
8.线性与抛物线插值
线性插值多项式的两种特殊情况
插值举例：已知函数y=lnx的函数值如下
函数值
为了减小截断误差，通常选取插值点x邻接的插值节点。
线性插值求法
抛物线插值，取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得
ln0.54=-0.6153
抛物线插值精度比线性插值精度高
9.误差估计
Rn(x)=f(x)-Ln(x),Rn(x)为插值余项。
插值余项定义
10.插值余项
插值余项计算的注意点
插值误差举例
已知函数y=ln(x)的函数值如下
试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差。
线性插值求误差余项
11.Newton插值
为什么要用Newton插值？
Lagrange插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数lk(x)都需重新计算，不太方便。
解决方法：设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即n次插值多项式可以由n-1次插值多项式生成，Newton插值法。
新的基函数
1.设插值节点为x0,.....xn.考虑插值基函数组。
插值基函数组
2.当增加一个节点xn+1时，只需要加上基函数
第n+1个节点的基函数
3.此时f(x）的n次插值多项式为
Newton插值多项式
其中，需要注意的只有两点
1.如何从pn-1(x)得到pn(x)?
2.怎样确定参数a0,........,an?
->需要用到差商
12.什么是差商？
差商的定义
差商的性质
差商与导数的性质
差商的计算
差商表
举例
计算过程：
差商具体计算过程
13.Newtow插值公式
Newton插值公式
Nn(x)为N次插值多项式
14.Newton/Lagrange插值多项式
n次插值多项式是唯一的
余项也相同
举例：
y=ln(x)的函数表
试分别用牛顿线性插值和抛物线线性插值计算ln(0.54)的近似值。
Newton插值解法
可以看出，当增加一个节点时，牛顿插值公式只需在原来的出上增加一项，前面的计算结果仍然可以使用。于拉格朗日插值相比，牛顿插值具有灵活增加节点的优点！注意：增加插值节点时，须加在已有插值节点的后面！
