高等代数理论基础47：线性变换的矩阵

线性变换的矩阵

V是数域P上n维线性空间, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是V的一组基

$\forall \xi\in V$ 可被基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 线性表出,即有 $\xi=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$ ,其中系数唯一确定,为 $\xi$ 在这组基下的坐标

线性变换保持线性关系不变,故 $\xi$ 的像 $\mathscr{A\xi}$ 与基的像 $\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n}$ 之间有相同的关系

$\mathscr{A\xi=A(x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n)}$

$=x_1\mathscr{A}(\varepsilon_1)+x_2\mathscr{A}(\varepsilon_2)+\cdots+x_n\mathscr{A}(\varepsilon_n)$

故只要知道基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 的像,则线性空间中任一向量 $\xi$ 的像也知道了

1.设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是线性空间V的一组基,若线性变换 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{B}$ 在这组基上的作用相同,即 $\mathscr{A}\varepsilon_i=\mathscr{B}\varepsilon_i,i=1,2,\cdots,n$ ,则 $\mathscr{A=B}$

证明：

$\mathscr{A}与\mathscr{B}相等$

$即它们对每个向量的作用相同$

$即证\forall \xi,等式\mathscr{A\xi=B\xi}成立$

$即\mathscr{A\xi}=x_1\mathscr{A}\varepsilon_1+x_2\mathscr{A}\varepsilon_2+\cdots+x_n\mathscr{A}\varepsilon_n$

$=x_1\mathscr{B}\varepsilon_1+x_2\mathscr{B}\varepsilon_2+\cdots+x_n\mathscr{B}\varepsilon_n=\mathscr{B}\xi\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定

2.设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是线性空间V的一组基, $\forall \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 一定有一个线性变换 $\mathscr{A}$ ,使 $\mathscr{A\varepsilon_i=\alpha_i},i=1,2,\cdots,n$

证明：

$设\xi=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i是线性空间V的任一向量$

$定义V的变换\mathscr{A}为\mathscr{A}\xi=\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i$

$下证\mathscr{A}是线性的$

$\forall \beta,\gamma\in V$

$\beta=\sum\limits_{i=1}^nb_i\varepsilon_i,\gamma=\sum\limits_{i=1}^nc_i\varepsilon_i$

$\therefore \beta+\gamma=\sum\limits_{i=1}^n(b_i+c_i)\varepsilon_i$

$k\beta=\sum\limits_{i=1}^nkb_i\varepsilon_i,k\in P$

$\therefore \mathscr{A}(\beta+\gamma)=\sum\limits_{b_i+c_i}^n\alpha_i$

$=\sum\limits_{i=1}^nb_i\alpha_i+\sum\limits_{i=1}^nc_i\alpha_i$

$=\mathscr{A}\beta+\mathscr{A}\gamma$

$\mathscr{A}(k\beta)=\sum\limits_{i=1}^nkb_i\alpha_i=k\sum\limits_{i=1}^nb_i\alpha_i=k\mathscr{A}\beta$

$\therefore\mathscr{A}是线性变换$

$下证\mathscr{A}满足\mathscr{A\varepsilon_i=\alpha_i},i=1,2,\cdots,n$

$\because \varepsilon_i=0\varepsilon_1+\cdots+0\varepsilon_{i-1}+1\varepsilon_i+0\varepsilon_{i+1}+\cdots+0\varepsilon_n,i=1,2,\cdots,n$

$\therefore \mathscr{A}0\alpha_1+\cdots+0\alpha_{i-1}+1\alpha_i+0\alpha_{i+1}+\cdots+0\alpha_n=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是线性空间V的一组基, $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是V中任意n个向量,存在唯一的线性变换 $\mathscr{A}$ ,使 $\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n$

线性变换的矩阵

定义：设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是数域P上n维线性空间V的一组基, $\mathscr{A}$ 是V中的一个线性变换,基向量的像可被基线性表出

$\begin{cases}\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{21}\varepsilon_2+\cdots+a_{n1}\varepsilon_n\\ \mathscr{A}\varepsilon_2=a_{12}\varepsilon_1+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{n2}\varepsilon_n\\ \cdots\\ \mathscr{A}\varepsilon_n=a_{1n}\varepsilon_1+a_{2n}\varepsilon_2+\cdots+a_{nn}\varepsilon_n\end{cases}$

矩阵表示

$\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n)$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$

其中 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

矩阵A称为 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵

投影

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m$ 是n( $n\gt m$ )维线性空间V的子空间W的一组基,将它扩充为V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

指定线性变换 $\mathscr{A}$

$\begin{cases}\mathscr{A}\varepsilon_i=\varepsilon_i\qquad i=1,2,\cdots,m\\ \mathscr{A}\varepsilon_i=0\qquad i=m+1,\cdots,m\end{cases}$

线性变换 $\mathscr{A}$ 称为对子空间W的一个投影, $\mathscr{A}^2=\mathscr{A}$

投影 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵是

$\begin{pmatrix}1\\ &1\\ & &\ddots\\ & & &1\\ & & & &0\\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &0\end{pmatrix}$

则取定一组基后,可建立由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的 $n\times n$ 矩阵的一个映射,且为单射,满射,即双射

定理：设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是数域P上n维线性空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按 $\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$ 对应一个 $n\times n$ 矩阵,对应具有性质：

1.线性变换的和对应于矩阵的和

2.线性变换的乘积对应于矩阵的乘积

3.线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积

4.可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵

证明：

$设\mathscr{A,B}是两个线性变换$

$它们在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下的矩阵分别为A,B$

$即\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$

$\mathscr{B}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)B$

$1.\because\mathscr{A+B}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)$

$=\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)+\mathscr{B}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A+(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)B$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)(A+B)$

$\therefore在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下,线性变换\mathscr{A+B}的矩阵是A+B$

$2.(\mathscr{AB})(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)$

$=\mathscr{A(B(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n))}$

$=\mathscr{A((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)}B)$

$=\mathscr{(A(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n))}B$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)AB$

$\therefore在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下,线性变换\mathscr{AB}的矩阵是AB$

$3.\because(k\varepsilon_1,k\varepsilon_2,\cdots,k\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)kE$

$\therefore 数乘变换\mathscr{K}在任一基下都对应数量矩阵kE$

$\therefore 数量乘积k\mathscr{A}对应于矩阵的数量乘积kA$

$4.单位变换\mathscr{E}对应于单位矩阵$

$\therefore \mathscr{AB=BA=E}与AB=BA=E对应$

$\therefore 可逆线性变换与可逆矩阵对应$

$且逆变换与逆矩阵对应\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：说明数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的几何L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间,与数域P上n级方阵构成的线性空间 $P^{n\times n}$ 同构

计算向量的像

定理：设线性空间V中线性变换 $\mathscr{A}$ 在两组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ , $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 下的矩阵分别为A和B,过渡矩阵为X,则 $B=X^{-1}AX$

证明：

$\because(\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n})=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$

$(\mathscr{A\eta_1,A\eta_2,\cdots,A\eta_n})=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)B$

$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$

$\therefore(\mathscr{A\eta_1,A\eta_2,\cdots,A\eta_n})=\mathscr{A}(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$

$=\mathscr{A}[(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X]=[\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)]X$

$=(\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n})X=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)AX$

$=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)X^{-1}AX$

$\therefore B=X^{-1}X\qquad\mathcal{Q.E.D}$

矩阵相似

定义：设A,B为数域P上两个n级矩阵,若可找到数域P上的n级可逆矩阵X,使 $B=X^{-1}AX$ ,则称A相似于B,记作 $A\sim B$

性质：

1.自反性： $A\sim A$

$A=E^{-1}AE$

2.对称性： $A\sim B\Rightarrow B\sim A$

若 $A\sim B$ ,则有X使 $B=X^{-1}AX$

令 $Y=X^{-1}$ ,有 $A=XBX^{-1}=Y^{-1}BY$ ,故 $B\sim A$

3.传递性： $A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$

有 $X,Y$ 使 $B=X^{-1}AX,C=Y^{-1}BY$

令 $Z=XY$ ,则 $C=Y^{-1}X^{-1}AXY=Z^{-1}AZ$ ,故 $A\sim C$

定理：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的,反之,若两个矩阵相似,则它们可看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵

证明：

$设n级矩阵A和B相似$

$A可看作是n维线性空间V中一个线性变换\mathscr{A}在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下的矩阵$

$\because B=X^{-1}AX$

$令(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$

$显然,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n也是一组基$

$\mathscr{A}在这组基下的矩阵即B\qquad\mathcal{Q.E.D}$

矩阵相似的性质：

若 $B_1=X^{-1}A_1X,B_2=X^{-1}A_2X$

则 $B_1+B_2=X^{-1}(A_1+A_2)X$

$B_1B_2=X^{-1}(A_1A_2)X$

故若 $B=X^{-1}AX$ ,且 $f(x)\in P[x]$ ,则 $f(B)=X^{-1}f(A)X$

注：利用矩阵相似的性质可简化矩阵的计算

例：设V是数域P上一个二维线性空间, $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 是一组基,线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 下的矩阵是 $\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}$

计算 $\mathscr{A}$ 在V的另一组基 $\eta_1,\eta_2$ 下的矩阵,其中 $(\eta_1,\eta_2)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

$\mathscr{A}$ 在 $\eta_1,\eta_2$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

显然 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$

又 $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

即 $\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}$

故 $\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^k\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}$

$=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1&k-1\\-1&2-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}k+1&k\\-k&-k+1\end{pmatrix}$

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