1
在本章中我们要定义一个关系之间的关系，这个关系间的关系之于关系,就象类的相似之于类。这关系我们将称为“关系的相似”;或者如果我们希望用一个不同的字以别于类的相似时，则可称之为“相仿”。然则相仿如何定义?
我们仍然须利用“对应”的概念:假定一关系的前域与另一关系的前域对应，又后域与后域对应;然而仅仅这一点，对于我们希望于两个关系所有的相似，是不够的。我们所希望的是，不论何时,两项间有其中一个关系,则两项的对应者必有另一关系。这一类情形显而易见的例子就是地图。

2讨论时，最好还是约略地知道一点。我们可以说只有当一个关系是“齐性的”(homogeneous)时候,也就是，只有当一个关系的前域和后域属于相同的逻辑类型时，一个关系才有一个“关系域”

不齐性的关系，前域后域逻辑上不同，这里的不同点难以在相似关系中体现。因而，相似所基于的相等的东西，这相等难以落实。a和b作为逻辑上相等的东西，可以与c和d作为逻辑上相等的东西，彼此之间谈论各自逻辑性质中相对性的相等。比如地图上a在b北边，相应于指示的A在B的北边。这里ab的关系可以并不考虑它们共同的逻辑性质：作为地图。而AB的关系一样可以搁它们共同的逻辑性质：实际事物。而ab如果逻辑上不同，那么，其逻辑上的区别就不能在讨论关系的相似时，针对它们之间相等的东西的考虑而言被忽视。就是说，这逻辑上的区别也要体现于相似的内容之中。这就使得相似关系很难讨论。

3
如果有P，Q二关系及一个一对一的关系S，又S的后域即Q的关系域，并且P是S和Q以及S的逆关系三者的关系积，则称S为P与Q的一个“关联者”(correlator)或者一-个“序的关联者”(ordinal correlator).

如P与Q二关系至少有一个关联者，则称关系P与Q“相似”或有“相仿关系”。

注：相似的定义，P，Q二关系及一个一对一的关系S，用P和S来定义Q，或用Q 和S来定义P。在这里，P的自变元和值与Q的自变元和值之间有S关系，这使得P的自变元和值之间，与Q的自变元和值之间，具有一方面基于P或Q关系本身直接决定，另一方面，为另一个关系以及S和逆S关系的关系积所决定两条路径。多路径。这使得相似具有使用的意义。当给出不同关系的相似时，可以基于一个关系的给出，来决定另一个关系的自变元确定下来后决定其值。那个值可以作为推理的产物。这就是地图的用法。地图作为一个语境的东西或者其真在先确定的东西，可以为人指路。

联系算术句子。5+7=12，它是恒真的，而非偶然为真。一个句子偶然为真，在于其中具有还没有说明的条件还没有纳入判断的根据中来，而仅仅从结果而言它是真的。这样的真命题总是具有没有说清楚的条件，而使得既已给出的条件作为所有条件而言对于结果还是偶然的。而给出全部必要条件的推理，必然为真，或者说作为恒真的。
比如5+a=12，它可以是真的。但是其真是偶然的，仅仅基于字面上的条件而言。要使得它确定为真或必然为真，就需要增加a意谓7这个条件。

4
当两关系相似时，凡不与它们的关系域中实际各项有关的性质,它们都共同具有。例如,一关系是示异的,另一关系也必是示异的,一关系是传递的,另一关系也必是传递的,一关系是连通的，另一关系也必是连通的。因此,如果一关系是序列的，另一关系也是序列的。又如一关系是一对多的或一对一的，另一关系也是对多的或一对一的;如是类推,以至关系的一切普遍的性质。
并且即使有一些语句是涉及-关系的关系域中实际各项的，这些语句应川于此关系的相似关系时可能不真，然而它们也常可翻译成类似的语付。这种讨论可能将我们引导到一个问题，这问题在数理哲学中很重要,然而至今不曾得到足够的认识。现在,问题可以叙述如下:
设有一个语言，我们知道它的语法和句法，但不知道它的词汇,然则在这语言中一个语句的可能的意义是什么,我们所不知的却使这语句真的一些词的意义又是什么?
这问题之所以重要，理由在于它比我们所能设想的更切近地表示出我们对于自然的知识的状况。我们知道某些科学的命题-在最先进的科学中，它们是用数学符号表示出来的--对于这世界而言或多或少是真的，至于加在这些命题中的词项上的解释,我们却很茫然。关于自然的形式我们所知道的远比关于自然的质料知道的为多(我们姑且采用形式,质料这一对旧名词)。因此当我们阐明一一条自然律时,我们真正知道的只是:我们的词项或许可有某一个解释使这定律接近于真。因而下面的问题非常重要:假若一个定律是以我们不知道其实质意义，仅知道其语法和句法的词项所表示出来的，那么这定律的可能的意义是什么?这个问题正是上面提出的问题。

这段话可以看作w的世界由事实而非物体所构成这个论断的契机。弗雷格开启的语境原则的体现。
说回来，语境原则在柏拉图的理念那上下而求索里，走通向下的路作为求知的条件，那向下的路就是结果的东西相对于因而言，可见的东西相对于可思的东西而言，作为认识论上在先的东西，体现出来了。从结果好的给出讨论其原因好所在，这就是语境原则的例子。

一和多的关系 理念在先 质料总是相对于特定形式而言的东西

5
我们已经知道，当两关系相似时,除了依附于两个关系域的各项的性质而外，这两关系的性质是相同的，由于这个事实，我们可以希望有一个专门名词给所有与一给定关系相似的关系一个总称。正如我们称相似于一给定类的那些类的集合为该类的“数”所以我们也可以称所有相似于一给定关系的那些关系的集合为该关系的“数”。但是为了避免与适用于类的数混活起见，在这种关系相似的情形下,我们将称之为一个“关系数”。于是,我们有下面的定义:
一给定关系的“关系数”是所有与这给定关系相似的关系的类。

至于一般的“关系数”,是所有那些关系的类的集合,而这些关系类乃是各种不同的关系的关系数;或者同样的,一个关系数是-个关系的类,由所有与这类的一分子相似的关系所组成。
当必需分别类的数,使它们不致和关系数相混淆时,我们将称它们为“基数”(cardinal number)。因而，基数是适用于类的数。它们包括日常生活中的普通整数，也包括某些无穷数，这些无穷数,我们以后将要谈到。如不致引起误会,此后我们说到“数”而不加限制时，要知道我们所指的乃是基数。我们须记住一个基数的定义是:
-给定类的“基数”是所有与这给定类相似的类的集合。

/从罗素对于“数”的用法，可以反过来理解弗雷格在类的类的意义上谈论数的情况。一一相应的不同类之间，它们的共性指出一个基于内涵所定义的类，就是数：
在这里，有限的不同外延类之间，总是除了数之外，还有偶然的共性。但是把这个类的集合扩展到无限，那么这里的偶然性就消失了。唯一留下来的是数。
而数在自然科学之中，作为一门学科称得上科学的标准：其命题可以为数学所描述。这使得数学作为诸科学的共性，类的类而存在。这也是古代万物皆数把本体归于数的思想的延续。
数作为类的类的共性，是作为object的世界的共性。类似的是善或思辨逻辑作为可思世界人作为subject的共性或本体。都是类的类，其内涵何以不同？这里突出来的是作为object或subject的逻辑的区分。在这个意义上，数和思辨分别作为可见世界和可思世界的本体。
类的类，作为普遍逻辑的谈论，这里突出来的是基于外延所定义的类作为共性分析的对象，它是无限的。有别于有限经验的类。类的类在后者可以指谓经验的共性或偶性。
这里，无限的类的可给出，基于结果上一一相应这个性质的指出。但是红这样的性质，并不能通过别的性质在结果上来规定。感觉红和概念红之间的关系，存在某种直接的相应，名称和指谓之间基于固有语法的直接相应。结果上的感觉红和概念红，没法在语言上离开同一个符号“红”被谈论。
在作为类的类的意义而言，柏拉图的理念善、思辨逻辑，也作为一种数：逻辑数。类比罗素的作为某类关系的共性的谈论的关系数。

关系数最显著的应用是用于序列。当两个关系有相同的关系数时,它们可以看作是同样的长。两个有穷序列有相同的关系数，当且仅当它们的关系域有相同的基数(相同的项的基数)，--臂如，15项的一个序列和任何其它有15项的序列有相同的关系数，而不和一个14项或16项的序列有相同的关系数,自然,也不和不是序列的关系有相同的关系数。因此在有穷序列的十分特殊的情形下,基数与关系数之间有一种平行关系。适用于序列的关系数可以称做“序列数”(serial number)(通常所谓“序数”[ordinal number)乃是序列数的子类【sub-class))。因之当我们知道一有穷序列的关系域中项的基数时，它的序列数也可以确定。如果"是一个有穷基数,一个项序列的关系数即为“序数”n(此外也有无穷的序数,但我们将在较后的章节中讨论)。

/这段看到关系数还是一个数。看上一段：
我们已经知道,当两关系相似时,除了依附于两个关系域的各项的性质而外，这两关系的性质是相同的，由于这个事实，我们可以希望有一个专门名词给所有与一给定关系相似的关系一个总称。
现在可以看到 依附于两个关系域的各项的性质 指的是相似关系的偶性，它们也可以看作某种共性，但是作为共性它们取决于依附于两个关系域的各项的性质，它们是经验的偶然的。而逻辑探讨的是某种普遍的东西。在所有的共性中，数 这共性或类并非偶然：它并不依附于两个关系域的各项的性质。任何一个关系，它都具有数这个类。
因此，关系数包含一个数。是关系和数的结合。在这里，关系是一般意义而言的东西。比如在序列的情况里，就是某个长度的序列：无论构造序列的关系是什么。

6
我们可以定义关系数的加法和乘法如同定义基数的加法和乘法一样，并且可以发展出一个完整的关系数的算术。通过究序列的情形,可以很容易地看出完成这件工作的方法。例如,假告我们希望定义二不相交序列之和，使二序列之和的关系数能以二列的关系数之和来定义。首先,二序列显然含有一个序,其中一个必是在另一个之前。如果P和Q是产生这两序列的关系,将P置于Q前，在二者之和的序列中，P的关系域中每--分子都在Q的关系域中每一分子之前。这样，我们要定义为P与Q之和的序列关系不是简单地“P或Q”,而是“P或Q或P的关系城中任一分子对于Q的关系城中任一分子的关系”。假定P和Q不相交，这个关系是序列的,但是“P或Q”由于不是连通的不是序列关系，因为在P的关系域中任一分子与Q的关系域中任一分子间没有序列关系，以上定义的P与Q之和才是我们所需要的，为了定义一关系数之和所需要的。为定义乘积与乘方也需要类似的变更或限制。这样所得到的算术不服从交换律，二关系数之和或积一般地依赖于它们的先后次序。可是这个算术服从结合律和一种形式的分配律以及两个乘方定律,这些定律都不仅适用于序列数,并且一般地适用于关系数。关系算术虽然最近才发展，事实上却是数学中非常值得重视的一个分支。

/这里的关系数，举例序列这种关系，还是序列数。只是指出2序列的和，它要作为整体的序列其关系，已经不是简单地“P或Q”,而是“P或Q或P的关系城中任一分子对于Q的关系城中任一分子的关系”。这并不影响关系数的相加，因为这新的关系使得这二不相交序列之和构成一个新的序列：二不相交序列之和，使二序列之和的关系数能以二列的关系数之和来定义。

不相交序列之和，指的是两个序列其下的项之间不存在序列关系，它们按两序列一个在先一个在后排列构成一个新的整体的序列。这新序列由于在2成员序列的项之间并不具有各自序列的构成的关系可以定义的关系，而需要由某种外在的新的规定来定义这个整体序列中项之间的关系。这个关系就是序列A的某项a和序列B的任一项的位置关系，以及序列A的另一项以致任何一项与序列B的任一项的位置关系，这组关系，与定义序列A的关系和定义序列B的关系，作为总的关系集，它定义了新的序列。或者说作为新序列的关系构成。这相应的是关系数的加法。是从序列的关系产生出来原序列的多个关系数和新序列的关系数之间的加法关系。

关系数的乘法，相应的是什么？

关系数是关系的类。它包含了类的性质或逻辑为自身的定义。比如这个类作为一个序列时，序列的排序关系：传递，连通等定义序列的类的性质，构成这个类的界定。并且具体到某个类时，还包括了这序列的序列数或项数的规定。而两个有穷序列有相同的关系数，这里已经规定了两者都是关系的条件下，进一步规定它们有相同的关系数的全部条件就仅剩下了它们的关系域有相同的基数（项的基数的相同）。
类似的，在地图的例子中，诸项之间的逻辑结构构成关系的类（关系数）的部分规定。可以把平面地图作为有穷序列而非无穷的而言看作二维序列。a在b的左边，在c的上面，只是规定了一种相对关系而并不精确规定真实地图那样可以表示为二维坐标那样具体的位置。前者由关系给出来项之间一种模糊的类而言关系的确定，后者者可以由项本身的性质——诸项二维坐标，先于诸项之间相对关系给出来。而罗素在这里讨论的，始终是一种语境原则的，类似于弗雷格通过真命题里的概念对于名称的含义或对于对象的刻画。罗素要通过基于语境可以判断给出来的项之间的关系，来理解事实，而非基于质料的性质的暴力给出来作为其可分析的结果的事实。这里就涉及最初的事实，基于质料性质的完全给出来确定关系，还是基于虽然对于个别事物或质料其性质还无知的条件下基于它们之间的某种关系的可以确定，基于这种相对关系的确定来作为事实的界定。

审视自然科学的进展，是语境原则的，或后一种情况。我们在对于电子质子等原子的质料或原子的更微观的构成其性质无知的情况下，就基于承认它们存在但是并不了解其内容的情况下，基于其存在所决定的结果的经验现象就发展出来了化学这门学科。从质料的性质出发来确定关系是一种上帝视角。绝对的质料性质的全知就不是比喻而是本身意义上的全知全能，它对于世界的认识的逻辑和有限的人从结果的现象出发上溯本体论的认识论进路的人对于知识的认识方式，是根本不同的。它直接洞察了绝对的底牌。而有限的人只能从现象出发逐步界定事实。人类的知识并不作为它的知识的拼图的构件或块片。但是谈论全知对于人似乎是没意义的，并不构成对于我的知识的任何影响。除了在去除非法的理性的谵妄而言使人认识到自身的界限。

全知存在于本体论，有限的人类的知识，只能基于认识论推进，从结果的东西的在先给出间接推断本体的情况。

设想本体论的存在是合法的，但是关于本体论的任何内容的判断，我只能基于认识论有一分根据做相应的一份推断。离开认识论我的任何判断都是非法的。

离开认识论或推理论证的逻辑我的任何判断都是非法的。这已经不是作为经验命题而非作为逻辑命题。作为分析命题对于认识方式本身的判断

对于全知全能的它，只有向下的路，没有向上的路。向上的路是基于结果向作为原因的本体论的求知。它只有本体论。结果的东西在它不存在？无需落到实处那认识论中现象的东西中的实证为基底。

它大概是看不见从现象走向上的路的人的。看不见人的现象。仅仅能够看见的可能是人所生而有之的神性部分，向上向善的天赋机能。

7
数学家,即使是一个研究应用数学的数学家,都无需涉及他的点，线，面的特殊本质或内在性质。我们可以说，几何学中与定义无关的那些部分之所以接近于真理，是有经验的根据。至于“点”是什么，却没有经验的根据。它必须是某种东西尽可能近似地满足我们的公理，但它不必是“十分小的”或者“没有部分”只要它满足公理,是否很小，或是否没有部分，是无关紧要的。假若我们能从经验的材料中构造出一个逻辑的结构满足我们的几何公理,无论如何复杂,这个结构仍可以合法地称为是一个“点”。我们不可以说此外别无共它的东西可以合法地称为是一个“点”。

/几何学中与定义无关的那些部分之所以接近于真理，是有经验的根据。
这句话 与定义无关的那些部分，指的是比如垂直 相交、三角形内角和180°，这样的判断。它们的理解可以从经验的结果里存在验证。有别于点的定义，无从验证。

8在数学中，甚至在很大的程度上在物理科学中，重要的不是我们所研究的各项的内在性质，而是它们相互间的关系的逻辑性质。

我们可以说两个相似的关系有相同的“结构”。为了数学的目的(虽则不是为了纯粹哲学的目的)关于关系唯一重要的事是:"它在何种情况下成立，而不是关系的内在性质。正如一个类可以由各种不同然而外延相同的概念来定义一样---例如,“人”和“无羽毛的两足动物”--两个从概念上说不同的关系可能在相同的…类实例中成立。

/关系在于结构。
关系的内在性质不重要，重要的是它在何种情况下成立。
关系的内在性质，指什么？形式的结构？还是质料的情况？
在何种情况下成立指什么？

罗素在这里指出来的大体是关系的性质和关系成立的情况或条件之间，后者作为实在的情况。类比弗雷格的满足性和不满足性的区分，苏格拉底的实在和非实在之间的整分关系，这里取实例为奠基的东西。或者说，这里是认识论上语境原则的确立。

罗素关于关系的阐述，类比弗雷格关于表达式的涵义和意谓的区分。关系的内在性质类比涵义，它并非决定性的。关系运用于何种情况，在一下成立，类比表达式的意谓。罗素自己也举例“人”和“没有羽毛的两足动物”，涵义不同而意谓相等：一个类可以由各种不同然而外延相同的概念来定义——两个概念上来说不同的关系可能在相同的一类实例中存在。

回到这段话第一句，两个相似的关系有相同的结构。这句话可能误导关于关系的一种本质主义的理解，把关系的理解落脚到其内在性质。但是罗素在这里指出来的，只是关系或其结构作为类的类的分析的产物，如同真作为逻辑总是相对于论证的考察而给出，真不是句子的性质。这里是一种根本上的认识论（有别于本体论）或经验主义的立场的贯彻。因为，一组相似的关系可以给出一个作为它们之间共性的结构（关系），但是这个推理不能反推，不能基于这结构给出任何一个关系。

这里类似w的语法和语言的关系。意义始终基于语法考察给出。

关系数，就是关系的结构、逻辑。它蕴含基数为其一个共性的类。