1.为什么要有图
1)前面我们学了线性表和树
2)线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3)树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4)当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
- 图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：
1561806847749.png
2.图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
2.1邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。
1561806938887.png
2.2邻接表
1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2）邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
1561807113709.png
1561807089651.png
3.入门
1)要求: 代码实现如下图结构.
代码：
package cn.smallmartial;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
/**
* @Author smallmartial
* @Date 2019/6/29
* @Email smallmarital@qq.com
*/
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //储存顶点集合
private int[][] edges; //存储对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
public static void main(String[] args) {
int n = 5;
String Vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
//创建对象
Graph graph = new Graph(n);
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示邻接矩阵
graph.show();
// int weight = graph.getWeight(0, 1);
// System.out.println(weight);
}
//显示矩阵
public void show(){
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
//返回节点对应的数据 0 ->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2){
return edges[v1][v2];
}
public Graph(int n) {
//初始化节点
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
运行结果：
1561809150608.png
4.图的遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
4.1深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
1)深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程
4.2深度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2)查找结点v的第一个邻接结点w。
3)若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4)若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5)查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
代码：
package cn.smallmartial;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
/**
* @Author smallmartial
* @Date 2019/6/29
* @Email smallmarital@qq.com
*/
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //储存顶点集合
private int[][] edges; //存储对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
private boolean[] isVisited ;
public static void main(String[] args) {
int n = 5;
String Vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
//创建对象
Graph graph = new Graph(n);
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示邻接矩阵
graph.show();
// int weight = graph.getWeight(0, 1);
// System.out.println(weight);
System.out.println("深度遍历：");
graph.dfs();
}
//显示矩阵
public void show(){
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
//返回节点对应的数据 0 ->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2){
return edges[v1][v2];
}
public Graph(int n) {
//初始化节点
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[5];
}
//得到第一个邻接节点的下标w
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接节点的下标获取下一个节点的邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
for (int j = v2+1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历
public void dfs(boolean[] isVisited, int i){
//首先访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
//将节点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1){
if (!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果w已经被访问
w = getNextNeighbor(i,w);
}
}
//对dfs进行重载 遍历所有节点
public void dfs(){
//遍历所有的节点
for (int i = 0; i < getNumOfEdges(); i++) {
if(!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
运行结果：
1561810847125.png
4.3广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
4.4广度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2)结点v入队列
3)当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4)出队列，取得队头结点u。
5)查找结点u的第一个邻接结点w。
6)若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。
package cn.smallmartial;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
/**
* @Author smallmartial
* @Date 2019/6/29
* @Email smallmarital@qq.com
*/
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //储存顶点集合
private int[][] edges; //存储对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
private boolean[] isVisited ;
public static void main(String[] args) {
int n = 5;
String Vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
//创建对象
Graph graph = new Graph(n);
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示邻接矩阵
graph.show();
// int weight = graph.getWeight(0, 1);
// System.out.println(weight);
System.out.println("深度遍历：");
//graph.dfs();
System.out.println("广度优先");
graph.bfs();
}
//遍历所有的节点都进行广度优先遍历
public void bfs(){
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(isVisited,i);
}
}
}
//返回节点的个数
public int getNumOfVertex(){
return vertexList.size();
}
//显示矩阵
public void show(){
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
//返回节点对应的数据 0 ->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2){
return edges[v1][v2];
}
public Graph(int n) {
//初始化节点
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[5];
}
//得到第一个邻接节点的下标w
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接节点的下标获取下一个节点的邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
for (int j = v2+1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历
public void dfs(boolean[] isVisited, int i){
//首先访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
//将节点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1){
if (!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果w已经被访问
w = getNextNeighbor(i,w);
}
}
//对dfs进行重载 遍历所有节点
public void dfs(){
//遍历所有的节点
for (int i = 0; i < getNumOfEdges(); i++) {
if(!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
//对一个节点进行广度优先遍历的算法
public void bfs(boolean[] isVisited, int i){
int u;
int w;
LinkedList queue = new LinkedList();
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
isVisited[i] = true;
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()){
//取出队列的头节点
u = (Integer) queue.removeFirst();
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1){
if (!isVisited[w]){
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
isVisited[w] = true;
queue.addLast(w);
}
w = getNextNeighbor(u,w);//广度优先
}
}
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
