机器学习笔记:XGBoost 公式推导

目标函数 = 损失函数 + 正则化项

Obj^{(t)}= \sum_{i=1}^{n}l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}+f_t(x_i)) + \Omega(f_t) + constant
Obj^{(t)} :在 t 时刻的目标函数。

\hat y_i^{(t-1)}+f_t(x_i):当前预测结果,其中 f_t(x) 是在 t 时刻要训练的 CART 树,\hat y_i^{(t-1)} 是已经训练得到的 CART 树的线性组合。

\Omega(f_t) :正则项,具体如下:
\Omega(f_t) = \gamma \cdot T_t + \lambda \cdot \cfrac{1}{2}\sum_{j=1}^T w_j^2
这里 T_tt 时刻训练的 CART 树的叶子结点个数,w_j 是在编号为 j 的叶子结点上的输出,\gamma\lambda 是超参数。

使用二阶泰勒展式


l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}+f_t(x_i))
使用二阶泰勒展式:
l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}+f_t(x_i)) \approx l(y_i,\hat y_i^{(t-1)})+g_if_t(x_i)+\cfrac{1}{2}h_if_t^2(x_i)
其中 f_t(x) 是在 t 时刻要训练的 CART 树,且
g_i = \cfrac{\partial \; l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}) }{\partial \hat y_i^{(t-1)}}
并且
h_i = \cfrac{\partial^2 \; l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}) }{\partial \hat y_i^{(t-1)}}
所以
Obj^{(t)} \approx \sum_{i=1}^{N} \left[l(y_i,\hat y_i^{(t-1)})+g_if_t(x_i)+\cfrac{1}{2}h_if_t^2(x_i) \right]+ \Omega(f_t) + constant
因为 l(y_i,\hat y_i^{(t-1)}) 是一个确定的数,可以归入 constant,上式右边
=\sum_{i=1}^{N} \left[g_if_t(x_i)+\cfrac{1}{2}h_if_t^2(x_i) \right]+ \Omega(f_t) + constant

f_t(x_i) 换成叶子结点的输出 w_{q(x_i)},再把 \Omega(f_t) 用定义展开,上式右边

=\sum_{i=1}^{N} \left[g_iw_{q(x_i)}+\cfrac{1}{2}h_iw_{q(x_i)}^2 \right]+ \gamma \cdot T + \lambda \cdot \cfrac{1}{2}\sum_{j=1}^T w_j^2 + constant
下面把“对样本的编号”(N 个样本)换成“叶子结点的编号”(T 个叶子),为了避免混淆,叶子结点的编号使用 j,上式右边
=\sum_{j=1}^{T} \left[\left( \sum_{i \in I_j} g_i \right)w_j+\cfrac{1}{2}\left( \sum_{i \in I_j} h_i \right)w_j^2 \right]+ \gamma \cdot T + \lambda \cdot \cfrac{1}{2}\sum_{j=1}^T w_j^2 + constant
说明:i \in I_j 表示第 i 个样本属于第 j 个叶子结点。接下来把 w_j^2 项合并,上式右边
=\sum_{j=1}^{T} \left[\left( \sum_{i \in I_j} g_i \right)w_j+\cfrac{1}{2}\left( \sum_{i \in I_j} h_i + \lambda \right)w_j^2 \right]+ \gamma \cdot T + constant
接下来定义:
G_j = \left( \sum_{i \in I_j} g_i \right)
表示同属于第 j 个叶子结点的一阶导数之和。与
H_j = \left( \sum_{i \in I_j} h_i \right)
表示同属于第 j 个叶子结点的二阶导数之和。于是上式右边
=\sum_{j=1}^{T} \left[G_jw_j+\cfrac{1}{2}\left( H_j + \lambda \right)w_j^2 \right]+ \gamma \cdot T + constant
上式对 w_j 求偏导并令其等于 0,得:
\cfrac{\partial \; Obj^{(t)}}{\partial w_j}= G_j + (H_j + \lambda) w_j = 0
于是得到编号为 j 的叶子结点的输出值:
w_j =- \cfrac{G_j}{H_j+\lambda}
接下来,再把这个输出值回代到目标函数中,得
Obj^{(t)} = -\cfrac{1}{2}\sum_{j=1}^{T}\cfrac{G_j^2}{H_j+ \lambda} + \gamma \cdot T + constant

如何选择 CART 的分割点

那么如何选择 CART 的分割点呢,用启发的方法,在所有的可行划分中选择增益最大的。

划分之前,叶子结点假设有 1
-\cfrac{1}{2}\cfrac{(G_L+G_R)^2}{H_L+H_R+ \lambda} + \gamma
划分之后:叶子结点假设有 2
-\cfrac{1}{2}\cfrac{G_L^2}{H_L+ \lambda} - \cfrac{1}{2}\cfrac{G_R^2}{H_R+ \lambda} + 2 \gamma
划分之前 > 划分之后,因此增益:
gain =-\cfrac{1}{2}\cfrac{(G_L+G_R)^2}{H_L+H_R+ \lambda} + \gamma -\left( -\cfrac{1}{2}\cfrac{G_L^2}{H_L+ \lambda} - \cfrac{1}{2}\cfrac{G_R^2}{H_R+ \lambda} + 2 \gamma\right)
整理一下,上式右边
gain =\cfrac{1}{2}\left( \cfrac{G_L^2}{H_L+ \lambda} + \cfrac{G_R^2}{H_R+ \lambda} - \cfrac{(G_L+G_R)^2}{H_L+H_R+ \lambda} \right)- \gamma
选择增益最大的那个划分。

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