数学基础：矩阵求导

本文主要参考B站UP主GRNovmbrain的推导视频，链接如下：
https://www.bilibili.com/video/BV1xk4y1B7RQ/?vd_source=eef9eaf7d8271401f6cbf1b7afa000c0

矩阵求导的本质

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对矩阵 $\boldsymbol{B}$ 求导，表示为 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ ，本质是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的每个元素对矩阵 $\boldsymbol{B}$ 中的每个元素求导。

求导后 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ 中元素的个数：

若 $\boldsymbol{A}$ 为 $1*1$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $1*1$ 矩阵，则 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ 中元素个数为 $1$ ；
若 $\boldsymbol{A}$ 为 $1*p$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $1*n$ 矩阵，则 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ 中元素个数为 $p*n$ ；
若 $\boldsymbol{A}$ 为 $q*p$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $m*n$ 矩阵，则 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ 中元素个数为 $q*p*m*n$ 。

矩阵求导元素布局方法

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对矩阵 $\boldsymbol{B}$ 求导，得到的结果为 $\frac{d\boldsymbol{A}}{d\boldsymbol{B}}$ ，本质上就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的每个元素对矩阵 $\boldsymbol{B}$ 中的每个元素求导；那么，不同的元素布局方式，就能得到不同的求导结果（指不同的结果矩阵）。元素的布局可以分为：1）分母布局，2）分子布局，两种布局的关系为：将分母布局得到的结果矩阵进行转置，即可得到分子布局的结果。

本文的例子中采用的是分母布局的形式，也是目前比较主流的机器学习矩阵求导布局形式。有些金融类的教材可能会采用分子布局的形式，两种布局没有优劣之分，为了计算会推导的方便可以采用任意一种布局。需要注意的是：在同一个项目中需保持布局的一致性。

分母布局口诀

标量保持不变，向量需要拉伸；
分子横向拉伸，分母纵向拉伸；

【例1】 $f(\boldsymbol{x})$ 为标量， $\boldsymbol{x}=[x_1, x_2, ... , x_n]^{T}$ 为列向量，求 $\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}$ 。

此例中，分子 $f(\boldsymbol{x})$ 为标量，分母 $\boldsymbol{x}$ 为向量，求导获得的矩阵共有 $n$ 个元素。依照布局口诀，分子为标量，保持不变，分母为向量，需将其各元素纵向拉伸。由此，我们可以得到：

【例2】 $f(x)=[f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x)]$ 为向量函数， $x$ 为标量，求 $\frac{df(x)}{dx}$ 。

此例中，分子为向量，分母为标量，求导获得的矩阵共有 $n$ 个元素。依照布局口诀，分子为向量，需将其各元素横向拉伸，分母为标量，保持不变。由此，我们可以得到：

$\frac{df(x)}{dx} = \left[ \begin{matrix} \frac{df_{1}(x)}{dx} & \frac{df_{2}(x)}{dx} \cdots & \frac{df_{n}(x)}{dx} \end{matrix} \right]$

【例3】 $f(\boldsymbol{x})=[f_1(\boldsymbol{x}), f_2(\boldsymbol{x}), ... , f_n(\boldsymbol{x})]$ 为向量函数， $\boldsymbol{x}=[x_1, x_2, ... , x_n]^{T}$ 为列向量，求 $\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}$ 。

此例中，分子为向量，分母为也为向量，求导获得的矩阵共有 $n^2$ 个元素。依照布局口诀，分子为向量，需将其各元素横向拉伸，分母为向量，需将其各元素纵向拉伸。我们先将分母纵向拉伸，再将分子横向拉伸，可以得到：

$\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}}\\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} & \frac{\partial f_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_{n}(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} & \frac{\partial f_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_{n}(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} & \frac{\partial f_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} & \cdots & \frac{\partial f_{n}(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \end{matrix} \right]$

常用矩阵求导公式

$\frac{\partial \boldsymbol{a}^{T}\boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}} = \frac{\partial \boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{a}}{\partial \boldsymbol{x}}= \boldsymbol{a}$
$\frac{\partial \boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}} = (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{T})\boldsymbol{x}$

符号说明：

$\boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol{x}$ 为列向量；
$\boldsymbol{A}$ 为矩阵。

推荐书籍

The Matrix Cookbook : http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/edoc/imm3274.pdf

最后编辑于：2023.05.11 15:27:05

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