对于公式2）可由二项式展开叠加求和：

因为， （n＋1）𠆢3－n𠆢3＝3·n𠆢2＋3n＋1

                  n𠆢3－（n－1）𠆢3＝3·（n－1）𠆢2＋3（n－1）＋1

                    ⋯                                ⋯                      ⋯

  ＋）                  2𠆢3－1𠆢3  ＝3·1𠆢2＋3·1＋1

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

        （n＋1）𠆢3－1𠆢3＝3Sn＋3·1/2·n（n＋1）＋n

所以，整理得：Sn＝1/6·n（n＋1）（2n十1）

同样公式3）可由4次二项式依次裂项，然后相加，并用公式1）、2）的结果求得Sn＝［1/2·n（n十1）］𠆢2

下面介绍公式3）的另一种有趣的列举推导方法：如下列数表

                    1      ️    2

            1      1          2                            （1＋2）𠆢2＝1＋8＝1𠆢3＋2𠆢3

          2        2            4

                    1            2            3

          1      1          2            3

          2        2          4            6

          3        3          6            9                        （1＋2＋3）𠆢2＝1＋8＋27＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3

                    1          2            3            4

          1      1            2            3            4           

          2        2          4            6              8

          3        3            6            9            12       

          4      4            8            12            16              （1＋2＋3＋4）𠆢2＝1＋8＋27＋64＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋4𠆢3

          同样我们可以得到（1＋2＋3＋4＋5）𠆢2＝1＋8＋27＋64＋125＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋4𠆢3＋5𠆢3

          因此，我们可以推断出：1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋⋯＋n𠆢3＝（1＋2＋3＋⋯＋n）𠆢2＝［1/2·n（n＋1）］𠆢2

例题：用公式2）、3）证明

i）1𠆢2＋3𠆢2＋5𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）

ii）1𠆢3＋3𠆢3＋5𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（n＋1）𠆢2·（2·n𠆢2＋4n＋1）

因为，1𠆢2＋2𠆢2＋3𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（4n＋3）    （1）

            2𠆢2＋4𠆢2＋6𠆢2＋⋯＋（2n）𠆢2＝2/3·n（n＋1）（2n＋1）                                （2）

  （1）－（2）得：

1𠆢2＋3𠆢2＋5𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）

同样，1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（2n＋1）𠆢2·（n＋1）𠆢2        （1）

              2𠆢3＋4𠆢3＋6𠆢3＋⋯＋（2n）𠆢3＝2·n𠆢2·（n＋1）𠆢2                              （2）

          （1）－（2）得：

1𠆢3＋3𠆢3＋5𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（n＋1）𠆢2·（2·n𠆢2＋4n＋1），证毕。