题目内容：
函数 $f(x) = x \tan x e^{\sin x}$ 是：
(A) 单调函数。
(B) 周期函数。
(C) 偶函数。
(D) 无界函数。

解题过程：

单调性分析：
- 函数的单调性需要通过求导来判断，但直接求导较为复杂。我们可以通过观察函数的组成部分进行大致判断。
- $x \tan x$ 在某些区间内是单调递增的，但由于 $\tan x$ 的周期性和在特定点处的未定义情况（如 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ），这使得整个表达式在这些点附近的行为变得复杂。
- $e^{\sin x}$ 是一个周期函数，且在每个周期内都是连续变化的，但它并不影响整体函数的单调性。
- 因此，整个函数 $f(x)$ 不一定是单调函数。
周期性分析：
- 虽然 $\tan x$ 和 $\sin x$ 都是周期函数，但是由于乘以了 $x$ ，导致整体函数不再具有周期性。
- 因此， $f(x)$ 不是周期函数。
奇偶性分析：
- $x$ 是奇函数， $\tan x$ 也是奇函数，而 $e^{\sin x}$ 并不是奇函数也不是偶函数。
- 整体来看， $f(x)$ 不满足偶函数或奇函数的定义。
- 因此， $f(x)$ 不是偶函数。
有界性分析：
- 当 $x \to \infty$ 时， $x \tan x$ 可能趋向于无穷大，并且 $e^{\sin x}$ 的值域为 $(e^{-1}, e)$ ，这意味着它不会限制 $f(x)$ 的增长。
- 因此，可以得出结论 $f(x)$ 是无界函数。

最终答案：
(D) 无界函数。

$x \tan x$ 的性质分析

$\tan x$ 的性质：
- $\tan x$ 是一个周期函数，其周期为 $\pi$ 。
- 在每个周期内， $\tan x$ 从 $-\infty$ 增加到 $+\infty$ ，特别是在区间 $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ （其中 $k$ 为任意整数）上单调递增。
- 需要注意的是， $\tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处没有定义，这是因为这些点是其垂直渐近线的位置。

由于 $\tan x$ 的上述特性，我们可以推断 $x \tan x$ 的行为会受到 $x$ 自身以及 $\tan x$ 特性的影响。尤其是在接近于 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 的位置时， $x \tan x$ 的值将迅速增大或减小，这取决于 $x$ 的符号和大小。此外，乘以 $x$ 后不会改变 $\tan x$ 的奇函数属性，但会影响其在无穷远处的行为，使其成为无界函数。

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$x \tan x$ 的行为分析

$x \tan x$ 的行为：
- 当 $x > 0$ 时，由于 $x$ 总是正的，所以 $x \tan x$ 的符号和变化趋势主要由 $\tan x$ 决定。
- 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 区间内， $\tan x$ 单调递增且正值增加。因此，在此区间内 $x \tan x$ 也是单调递增的。
- 在 $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ 这样的区间内，虽然 $\tan x$ 依然是单调递增的，但由于它在 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 之间穿越了零点，并变为负值，因此 $x \tan x$ 的行为变得更加复杂。特别是在接近 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的位置， $x \tan x$ 会出现急剧的变化，因为它乘以了一个趋向于无穷大的正值或负值。

结论

综上所述，在某些特定区间如 $(0, \frac{\pi}{2})$ ， $x \tan x$ 确实是单调递增的。然而，在包含奇数倍的 $\frac{\pi}{2}$ 的区间中（例如 $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ ），因为 $\tan x$ 的不连续性和符号变化， $x \tan x$ 不一定是单调递增的。实际上，在这些点附近它的行为相当复杂。因此，说 $x \tan x$ 在某些区间内是单调递增的是正确的，但需要注意具体的区间范围。

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分析函数在 $x \to \infty$ 时的行为

$x\tan(x)$

函数 $x\tan(x)$ 的行为随着 $x$ 增大变得复杂，主要是因为 $\tan(x)$ 是周期性的，并且在每个周期内都有垂直渐近线（即，在 $\frac{\pi}{2} + n\pi$ 处，其中 $n$ 是整数）。这意味着每当 $x$ 接近这些值时， $\tan(x)$ 会迅速增加到正无穷或减少到负无穷。因此，虽然 $x$ 本身是无限增大的，但由于 $\tan(x)$ 在不同点上的剧烈波动， $x\tan(x)$ 并不会平滑地趋向于无穷大。相反，它会在某些点上经历剧烈的振荡，无法定义一个明确的趋势。
$e^{\sin(x)}$

对于 $e^{\sin(x)}$ ，情况有所不同。由于 $\sin(x)$ 的范围限制在 $[-1, 1]$ ， $e^{\sin(x)}$ 的值域则位于 $[e^{-1}, e^1] = [\frac{1}{e}, e]$ 之间。这意味着无论 $x$ 如何增大， $e^{\sin(x)}$ 的值都不会超出这个区间。因此， $e^{\sin(x)}$ 不会趋向于无穷大；它的最大值为 $e$ ，最小值为 $\frac{1}{e}$ ，并随 $x$ 的增加而周期性变化。

综上所述，当 $x \to \infty$ 时， $x\tan(x)$ 并不平稳地趋向于无穷大，而是经历剧烈波动；而 $e^{\sin(x)}$ 则保持有界的周期性变化，不会趋向于无穷大。

题目2

题目内容：
下列四个函数中，在区间 $(0, +\infty)$ 上有界的共有：

(1) $x \sin \frac{1}{x}$
(2) $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$
(3) $\frac{\sin x}{x}$
(4) $x \sin x$

解题过程：

函数 (1) $x \sin \frac{1}{x}$ ：
- 当 $x \to 0^+$ ， $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡，但 $x$ 趋向于 0，因此 $x \sin \frac{1}{x}$ 有界。
- 当 $x \to +\infty$ ， $\sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$ ，因此 $x \sin \frac{1}{x} \approx 1$ ，有界。
- 结论：有界。
函数 (2) $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ ：
- 当 $x \to 0^+$ ， $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡，但 $\frac{1}{x}$ 趋向于无穷大，因此 $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 无界。
- 当 $x \to +\infty$ ， $\sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$ ，因此 $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x^2}$ ，有界。
- 结论：无界。
函数 (3) $\frac{\sin x}{x}$ ：
- 当 $x \to 0^+$ ， $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ，有界。
- 当 $x \to +\infty$ ， $\sin x$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡，但 $\frac{1}{x}$ 趋向于 0，因此 $\frac{\sin x}{x}$ 有界。
- 结论：有界。
函数 (4) $x \sin x$ ：
- 当 $x \to 0^+$ ， $x \sin x \to 0$ ，有界。
- 当 $x \to +\infty$ ， $\sin x$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡，但 $x$ 趋向于无穷大，因此 $x \sin x$ 无界。
- 结论：无界。

最终答案：
(B) 2个。

根据题目要求，我们需要分析数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 的性质，并判断给定的结论是否正确。我们逐一分析选项：

选项 (A)

若 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$ ，则必有 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ 或 $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$ 。

这个结论不一定成立。例如，考虑 $x_n = \frac{1}{n}$ 和 $y_n = n$ ，此时 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot n\right) = 1 \neq 0$ 。但如果我们取 $x_n = \frac{1}{n}$ 和 $y_n = n^2$ ，则 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot n^2\right) = \lim_{n \to \infty} n = \infty$ 。因此，即使 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$ ，也不一定有 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ 或 $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$ 。

选项 (B)

若 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \infty$ ，则必有 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ 或 $\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$ 。

这个结论也不一定成立。例如，考虑 $x_n = (-1)^n n$ 和 $y_n = (-1)^n$ ，此时 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \lim_{n \to \infty} \left((-1)^n n \cdot (-1)^n\right) = \lim_{n \to \infty} n = \infty$ ，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 和 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 都不存在。

在你提供的例子中，数列 $x_n = (-1)^n n$ 和 $y_n = (-1)^n$ 确实展示了即使 $x_n y_n$ 趋向于无穷大， $x_n$ 和 $y_n$ 的极限也可能不存在。让我们详细分析一下为什么 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 和 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 都不存在。

对于 $x_n = (-1)^n n$

当 $n$ 是偶数时， $x_n = n$ 。
当 $n$ 是奇数时， $x_n = -n$ 。

因此，随着 $n$ 增加， $x_n$ 在正无穷和负无穷之间交替变化。具体来说， $x_n$ 的子序列（例如，取所有偶数项形成的子序列）趋向于正无穷，而另一个子序列（例如，取所有奇数项形成的子序列）趋向于负无穷。由于这两个子序列的极限不同，整个序列 $x_n$ 没有一个确定的极限值。所以， $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在。

对于 $y_n = (-1)^n$

当 $n$ 是偶数时， $y_n = 1$ 。
当 $n$ 是奇数时， $y_n = -1$ 。

这意味着 $y_n$ 在两个值 1 和 -1 之间不断交替，没有趋向于任何一个特定的数值。因此，无论 $n$ 如何增加， $y_n$ 的值都不会趋近于一个固定的数，而是持续地在 1 和 -1 之间切换。这表明 $y_n$ 没有一个定义良好的极限。所以， $\lim_{n \to \infty} y_n$ 也不存在。

结论

这个例子说明了即使 $x_n y_n$ 趋向于无穷大，也不意味着 $x_n$ 或 $y_n$ 必须趋向于无穷大或有任何形式的极限存在。在这个特定情况下，尽管 $x_n y_n = n$ 趋向于无穷大，但因为 $x_n$ 和 $y_n$ 分别在不同的数值间振荡而不收敛到任何具体的数值，它们各自的极限都不存在。这也证明了原命题“若 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \infty$ ，则必有 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ 或 $\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$ ”不一定成立。

选项 (C)

若 $x_n y_n$ 有界，则必有 $x_n$ 与 $y_n$ 都有界。

这个结论不一定成立。例如，考虑 $x_n = n$ 和 $y_n = \frac{1}{n}$ ，此时 $x_n y_n = 1$ 是有界的，但 $x_n$ 无界。

数列 $y_n = \frac{1}{n}$ 是有界的，这意味着存在某个正数 $M$ ，使得对于所有的 $n$ ，都有 $|y_n| \leq M$ 。

找到最大值和最小值：

最大值：当 $n = 1$ 时， $y_1 = 1$ ，这是 $y_n$ 可能达到的最大值。
最小值：随着 $n$ 趋向于无穷大， $\frac{1}{n}$ 趋向于 0，但始终大于 0。

选项 (D)

若 $x_n y_n$ 无界，则必有 $x_n$ 无界或 $y_n$ 无界。

反证法证明

反证法（Proof by Contradiction）是一种逻辑推理方法，用于证明一个命题的真实性。这种方法的基本思路是假设命题的否定为真，然后通过逻辑推导出与已知事实、前提条件或数学原理相矛盾的结果，从而证明原命题必须为真。

反证法的基本步骤

假设命题的否定为真：首先假设你想要证明的命题 $P$ 是假的，即假设 $\neg P$ （非 $P$ ）为真。
逻辑推导：基于这个假设进行逻辑推导，看看是否能从中得出一个矛盾。这里的矛盾可以是对已知事实的违背、对数学定理的违反或者是自相矛盾的情况。
得出矛盾：如果从假设 $\neg P$ 出发能够推出矛盾（例如得到 $A$ 和 $\neg A$ 同时成立），那么说明假设 $\neg P$ 是错误的。
结论：既然假设 $\neg P$ 导致了矛盾，那么原命题 $P$ 必须为真。

示例

以“若 $x_n y_n$ 无界，则必有 $x_n$ 无界或 $y_n$ 无界”为例，我们可以通过反证法来证明这一点：

假设命题的否定为真：
- 假设 $x_n$ 和 $y_n$ 都是有界的数列。这意味着存在常数 $M_1 > 0$ 和 $M_2 > 0$ ，使得对于所有的 $n$ ，都有 $|x_n| \leq M_1$ 和 $|y_n| \leq M_2$ 。
逻辑推导：
- 如果 $x_n$ 和 $y_n$ 都是有界的，那么它们的乘积 $x_n y_n$ 的绝对值不会超过 $M_1 \cdot M_2$ ，即：
  $|x_n y_n| = |x_n| \cdot |y_n| \leq M_1 \cdot M_2$
- 这表明 $x_n y_n$ 也是有界的。
得出矛盾：
- 我们的初始假设是 $x_n y_n$ 是无界的。但是，根据上述推导，如果 $x_n$ 和 $y_n$ 都是有界的，那么 $x_n y_n$ 必须也是有界的。这与 $x_n y_n$ 无界的假设相矛盾。
结论：
- 因此，我们的假设（即 $x_n$ 和 $y_n$ 都是有界的）不能成立。
- 所以，如果 $x_n y_n$ 是无界的，那么必然有一个数列（ $x_n$ 或 $y_n$ ）必须是无界的。

通过这种逻辑推理方法，我们成功地证明了原命题的正确性。反证法是一种非常有效的证明技巧，特别是在直接证明困难的情况下。

2025-03-16

2025-03-16

$x \tan x$ 的性质分析

$x \tan x$ 的行为分析